ML I: Introducción a la Probabilidad.

Un recuento de probabilidad:

Espacio Muestral (S) : Todas las salidas probables de un experiemento.
Ejemplos:
a) Lanzar una moneda: S = {Cara, Cruz}
b) Medida de Distancia: S = { |R+ } (el conjunto de números reales positivos)

Variable Aleatoria: Es una función que asigna un numero real a cada elemento de S. Se las denota con letra mayúscula para distinguirlas de su valor que también puede ser una variable pero escrita en minúscula.
Ejemplos:
a) Lanzar una moneda: Cara=0, Cruz=1
b) Medida de Distancia: X = x
La suma de probabilidades de todos los valores de la variable aleatoria es 1.

Es conveniente en los casos de variable continua representar p(X=x) como fx(x) llamada función de densidad de probabilidad.  

Valor Esperado: Es el valor de una variable aleatoria que esperamos obtener mayor cantidad de veces al realizar varias veces el mismo experimento. Sin embargo a veces es un valor imposible. (Imposible: Probabilidad de que X = x es cero, p(X = x) = 0 )

En muchos caso es más fácil considerar la esperanza como:

Varianza: Es un valor que indica que tan dispersa es X con respecto a su valor esperado. Se representa como o  Var(X) =

Distribución Conjunta: Es la probabilidad de que los eventos X=x y  Y=y sucedan al mismo tiempo.

Por ejemplo en un partido de fútbol, que tiene tres posibles salidas para X y Y que representan el resultado para cada equipo (perder, empatar o ganar), P(X=x, Y=y) tiene valor de 0 para X=ganar y Y=ganar y también para X=perder y Y=perder, dado que no se pueden dar ambos al mismo tiempo.

Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de que suceda X=x dado que esta sucediendo o ya sucedió Y=y.

En el ejemplo del partido de fútbol la probabilidad de X=ganar dado que Y=perder es 1, ya que no puede darse X=perder si se dan los otros dos casos de Y.

Probabilidad Total :  De lo anterior se tiene:

Si se suma con respecto a todos los valores de Y obtendríamos la probabilidad de obtener X, o sea  fx(x).

Marginales: Es la obtención de fx(x) y fy(y) a partir de fx,y(x,y).

Teorema de Bayes: En las ecuaciones de obtención de marginales se observa una relación interesante y es que la distribución conjunta es igual a X dado Y por la probabilidad de Y y a la vez es la probabilidad de Y dado X por la probabilidad de X. Uniendo estas dos relaciones resulta que se puede conocer cualquier probabilidad  entre dos variables si se conoce al menos una probabilidad condicional y la de una variable

Independencia: X y Y son independientes si: 

Por ejemplo si X es el resultado de lanzar una moneda y Y el de lanzar otra, los resultados no dependen entre si, incluso Y puede ser un segundo lanzamiento de la misma moneda.

Si existe una tercera variable aleatoria Z, X y Y son condicionalmente independientes si:

Por último en este recuento la distribución de probabilidad más usada, llamada gaussiana o normal. Su función de densidad es:

Y un ejemplo:

Suponga hay dos variables aleatorias Puerta (abierta, cerrada) y Luz (prendida, apagada), se busca p(Puerta|Luz) que es un razonamiento de diagnóstico a cambio de p(Luz|Puerta) que es un razonamiento de causal. A menudo el conocimiento causal es mas fácil de obtener, mediante Bayes podemos dejar  p(Puerta|Luz) en términos de conocimiento causal.

Como conclusión se nota que el conocer que la luz está prendida da mayor probabilidad que la puerta este abierta.

Al final este artículo es un resumen de la teoría matemática de probabilidad.

En el próximo artículo continuaremos el análisis de este ejemplo para derivar el filtro de Bayes y una breve explicación de las Cadenas de Markov.

Aprendizaje Automático: Machine Learning

Después de presentados 6 artículos (I, II, III , IV, V, VI) sobre modelos matemáticos es hora de presentar un caso práctico de actualidad que demuestre la capacidad de los mismos.

Que una computadora pase de llenar un piso entero de un edificio a caber en tu bolsillo es algo que sorprende, sin embargo la robótica y la inteligencia artificial promete pronto tenerla caminando a tu lado, reconociendo el entorno, interactuando contigo y respondiendo a tus preguntas como si de un ser inteligente y "sabiondo" se tratará. 

¿Cómo se consigue esto? Pues lo siento no es con magia, es con mucha matemática y algoritmos complejos, sobre todo probabilidad e inteligencia artificial. 

Gracias a Marco Gutama que recomendó este curso en edX sobre cuadricópteros y su navegación autónoma: 

TUMx: AUTONAVx: Autonomous Navigation for Flying Robots

Se encontró en la página del grupo de investigación de la Universidad Técnica de Munich en Visión por Computadora el curso:

Machine Learning for Robotics and Computer Vision

En la página del curso (link de arriba) podrán encontrar las lecturas correspondientes y los vídeos de los profesores que imparten esta clase en inglés. Por cierto las lecturas y vídeos del cuadricóptero también las encuentran aquí.

Sin embargo si prefieren una versión resumida (o más extensa según el tópico) y en español no duden en seguir los siguientes artículos de este blog. 

Además se ofreció al principio un caso práctico, por lo tanto se usará Scilab y tal vez las mismas prácticas del curso para que no sea simplemente teoría matemática sino una verdadera aventura en el campo de la visión por computadora. 

Finalmente debido a que los autores de este blog pertenecen a la carrera de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones se espera presentar el trabajo final de la materia Redes Neuronales, que tiene bastante relación con Machine Learning.

Empecemos por dar la lista de los temas a tratarse:

1. Introducción al Aprendizaje y Razonamiento probabilístico.
2. Introducción al Aprendizaje.
3. Regresión o Ajuste.
4. Modelos Gráficos Probabilísticos a) Métodos Dirigidos y b) Métodos No Dirigidos.
5. Boosting (Intensificación).
6. Métodos Kernel.
7. Procesos Gaussianos a) Regresión y b) Clasificación.
8. Modelos Mixtos y Maximización de la Esperanza.
9. Interferencia Variacional.
10. Métodos de Muestreo.
11. Cadena de Markov Monte Carlo.
12. Evaluación y Selección de Modelo.
13. Agrupamiento.

Y una breve introducción de Scilab:

Scilab es desarrollado por  Inria (French National Institute for Research in Computer Science and Control) bajo la compañía Scilab Enterprises. Es un programa libre y abierto para aplicaciones científicas y de ingeniería. Es una opción frente al muy usado Matlab, que tiene el mismo objetivo, debido a que este último es un software de pago muy costoso.

Tiene una interfaz gráfica desarrollada tanto para Linux, Window y OSX a diferencia de Octave, también libre, que es un software de iguales o mejores características sin embargo su mayor potencial se desarrolla sobre Linux.

El uso de cualquiera de estos programas logra que el desarrollo de algoritmos y simulaciones de modelos matemáticos sea mucho más rápido que en un lenguaje de programación tradicional como C, al costo de disminuir la eficiencia en la ejecución de los mismos, usando más memoria y demorando más en obtener los resultados finales. Sin embargo como el objetivo de este curso tampoco es llegar a simular cosas demasiado complejas viene bien usar este software ahorrando tiempo en el desarrollo y haciendo cualquier otra actividad hasta que el resultado aparezca en pantalla. Que esperas para descargarlo e instalarlo.

Modelos Matemáticos VI: Aproximaciones

Hasta ahora hemos revisado como se puede expresar en lenguaje matemático hechos simples y cotidianos como el de una compra en una tienda, el movimiento de un objeto, la lotería, etc. También se dijo de manera breve como se modelan fenómenos que recién han empezado a comprenderse desde el siglo pasado. Pero algo más que se revisó fue la capacidad de digitalizar o discretizar los hechos para de esa manera obtener información, y a esta almacenarla y procesarla de forma mucho más fácil que si lo hiciéramos sobre tal cuál es.

Pues también existen formas de simplificar fórmulas matemáticas. O mejor dicho de aproximarse lo más posible sin perder sus características principales Uno de sus usos actuales es simplificar las operaciones de un computador. Sin embargo muchos hombres encontraron algunas de ellas antes del invento de cualquier calculadora o computador.

Series

Una de las formas de acercarse a una expresión matemática es mediante series, que no son más que sumas de varias cantidades. Para entender las series por lo general se explican primero las sucesiones, la más simple es la que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, ....
Puede darse otro ejemplo como la sucesión de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, ....
Como se ve en los ejemplos una sucesión no es más que una lista ordenada de elementos, además estos pueden estar relacionados entre sí o no.

Aplicaciones: Resulta que los datos almacenados en un computador son una sucesión, la palabra "hola" está en algún lugar de la memoria de la siguiente manera: 'h', 'o', 'l', 'a' y es posible verla en la pantalla pues el programa accede a la memoria y recupera los datos en ese orden y es distinta a 'a', 'h', 'l', 'o' que es una palabra que no existe pero tiene los mismos elementos (Y se nota además que las palabras son sucesiones finitas cuyos elementos son las letras del idioma).  Se puede decir que en general toda señal digital y todo lenguaje humano es una sucesión.

Si se suman los elementos de una sucesión se obtiene una serie, una de las famosas es la serie de Sissa, inventor del ajedrez. Dice la leyenda que  el rey le ofreció 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas. Resultado: Es imposible pues como detallan aquí, se necesitarían 907 cosechas anuales mundiales de trigo para pagar lo ofrecido.


Este tipo de series se conocen como divergentes, pues al sumar un término más de la sucesión el resultado cambia bastante en relación al resultado sin sumar ese último término.

Pero que pasa con la misma serie inversa a la de Sissa, es decir tomar y sumar 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+... . Pues que el resultado a medida que sumamos más términos se acerca más y más a 2. A este tipo de series se les llama convergentes pues la suma de más términos hace que se llegue más cerca de único resultado.


Y son de este tipo de series las conocidas como Serie de Taylor y Serie de Fourier.

Serie de Taylor
La serie de Taylor básicamente lo que hace es aproximar una función matemática (expresión en la cual existen variables que al darles un valor dan un valor a la función ) cualquiera en un polinomio. Sus términos dependen de las sucesivas derivadas de la función original , que en un solo punto pasan a ser valores fijos o constantes llamados coeficientes, y  la "x" continua como variable pero en cada término aumenta su potencia a la cual esta elevada (llamada también grado). Una serie de Taylor es un serie de potencias.

El polinomio puede parecer que no reduce en realidad a la función sino que mas bien la agranda en infinitos términos, pero la verdadera utilidad esta en que un computador puede hallar las raíces de una función o el valor aproximado de la derivada de la función en el punto "a" con solo los dos primeros términos de la serie.
Además el tomar solo los dos primeros términos hace que la función, sin importar que complicada esta sea, se vuelva lineal, es decir solo contiene "x" sin elevar a ninguna potencia y esto es muy importante pues existe muchísima teoría matemática que toma como principio la linealidad y muchas veces se requiere linealizar para llegar a una solución mucho más rápido.

Hablando de lo mismo, el estudio de líneas rectas es más sencillo que de las curvas, a pesar de existir métodos, ecuaciones y funciones para líneas curvas, estas pueden tener muchísimas formas como para generalizar esos métodos, es más fácil dividirla en muchas pequeñas líneas rectas formando una serie de líneas rectas.

Serie de Fourier
 La serie de Fourier es al igual a la de Taylor un polinomio que expresa una función, pero lo hace en términos de otras funciones, seno y cosenos. Una particularidad es que la función debe ser periódica, es decir que el valor de la función en un punto "a" sea el mismo en el punto "a+T" y en "a+2T", "a+3T", etc. Donde T es el período y 1/T es la frecuencia principal.  Los coeficientes son ao, y los distintos  an y bn. Como el coseno y el seno tienen como argumento a n/T, son senos y cosenos de múltiplos de la frecuencia principal.
La letra que parece "E" se llama epsilon y en su forma mayúscula sirve para representar sumas sucesivas. En este caso la suma empieza en n=1 y va sumando todos los términos que surgen de ir aumentando n hasta "llegar" al infinito.

La utilidad de las series de Fourier esta en que muestra que cualquier función peródica no tiene una sola frecuencia sino varias, a menos que se un simple seno o coseno. 

Representación gráfica de las series de Fourier. A medida que se aumentan los términos mas se parece la serie a la función original

En los procesos naturales es muy común los ciclos repetitivos en el tiempo es por eso que la función se le ha denominado f(t) y no f(x) donde "t" representa al tiempo . Esto es importante en comunicaciones donde todo se trabaja en frecuencias, seguramente conoces a alguna estación de radio más por su frecuencia que por su nombre o quizás como estrategia su nombre es su frecuencia. Pero como no todo es periódico se necesitaba algo que logre pasar más funciones en términos de su frecuencia, para esto existen las transformadas pero eso es otro tema.

Por último la "verdad" puede ser vista como una serie, donde los coeficientes dependen de la confianza que tenemos a la fuente que representa cada término. Un concepto parecido a este se usa en redes neuronales en el perceptrón, modelo mtemático más simple de una neurona, es la suma de distintas características multiplicadas por distintos pesos (coeficientes) nos indica a que clase pertenece el sujeto de quienes son las características analizadas al compararlas con un valor umbral. Así si el valor supera al umbral se considera de una clase (verdadero) y si no de la otra clase (falso). Pero esto también es otro tema.

Modelos Matemáticos V: Probabilidad

  Hasta ahora todas las formas que hemos visto para modelar fenómenos son muy confiadas en que realmente algo va a suceder tal como lo expresan sus fórmulas matemáticas, o al menos de manera muy parecida.

Pero los hechos, y aquí se considera un principio llamado de  causalidad, dependen de hechos anteriores. Y a su vez de hechos que se realizan paralelamente y es muy difícil considerar a todos ellos en una fórmula matemática que explique a solo uno, especifico y delimitado en tiempo y espacio.

 La probabilidad permite modelar matemáticamente justamente esos procesos o fenómenos que involucran una gran cantidad de eventos o elementos, es más, mientras mayor número de elementos mejor se ajusta el modelo a la realidad.

  

 El sentido común nos dice que al comprar un boleto de lotería tenemos más probabilidad de ganarla que aquel que no compró un boleto, pero ¿hasta qué punto es esto cierto?. Para eso definiremos la probabilidad de un suceso como la cantidad de acontecimientos favorables dividido para la cantidad de todos los acontecimientos posibles. En el ejemplo de la lotería suponiendo que se usan boletos numerados del 1 al 99999, tendríamos 99999 casos posibles y si solo compramos un boleto, 1 caso favorable.

                     $P=\frac { favorables }{ todos }  = \frac { 1 }{ 99999 } = 0.0000100001$

Es fácil llegar a la conclusión de que la máxima probabilidad es 1, cuando todos los casos son favorables. Por esto se le representa multiplicado por 100, es decir en porcentaje.

 Es necesario diferenciar un porcentaje de probabilidad de un porcentaje de cantidad, decir 50% de una moneda es distinto al 50% de probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda.

 Comparando el ejemplo de la moneda y el ejemplo de la lotería mediante experimentación (Es curioso que podemos hacerlo con la misma moneda, primero realiza lanzamientos de la moneda y luego compra con ella un boleto de lotería) se ve que la probabilidad que supusimos que es para un único acontecimiento en el tiempo, una solo lanzamiento o un solo sorteo, es también una probabilidad para varios acontecimientos es decir que la probabilidad de que salga cruz en 20 lanzadas sigue siendo del 50% y esperaríamos que 10 sean cruz, pero como dice el gráfico un 50% de probabilidad no es un 50% de cantidad y puede que al final las 20 lanzadas sean cara, pero si realizamos 1 millón de lanzadas es más seguro que medio millón sea cruz y el otro medio millón resulte cara. ¿Por qué? Porque la probabilidad funciona mejor mientras más elementos se tomen en cuenta, pues si resultara algo diferente habría que cambiar el 50% a otro valor y ajustar a la realidad.

 Es por eso que la probabilidad es una buena forma de modelar fenómenos que ocurren muchas veces o que implican una gran cantidad de datos, pero ¿Qué tan determinista es una probabilidad?. Parece una pregunta tonta pero es necesario conocer que tan apegado a lo que realmente ocurre es una probabilidad o si como modelo matemático que es, se queda en el terreno de la matemática formal y abstracta.  

 Ahora con el ejemplo de la lotería vemos que para ganarla necesitamos comprar un boleto una cantidad considerable de veces y eso solo para que el 0,00001% de probabilidad se vuelva más cercano al 0,0001% de cantidad, y esto comprando el mismo número siempre, es decir el que compra un boleto tiene más probabilidad que el que no compra pero es tan baja que a efectos teóricos no hay diferencia pero resulta que si hay ganadores de lotería, por que ese es el resultado inevitable del sistema de juego si se venden todos los boletos mas no porque el comprador del boleto ganador compró más boletos, a menos que sean realmente muchos ( lo que casi seria como gastar el premio que se sortea para recuperarlo después).

 Lo mismo pasa en la naturaleza existen fenómenos que si bien tienen una probabilidad muy pequeña, ocurren y otros que con probabilidades mayores no logran ser observados. Pero que es lo que pasa con una probabilidad del 0,0000000000000000000000000001% o más pequeña,   pues que necesitaríamos vigilar a todo momento en todo lugar para lograr observar una posible ocurrencia. Ocurrencia que no puede suceder nunca o puede suceder repetidas veces seguidas para nunca más volver a aparecer, a esto podemos llamar aleatoriedad total pues la probabilidad de una proceso completamente aleatorio según la definición es de uno sobre todo lo posible, en matemático $\frac{1}{\infty}$ , que por lo general se toma como cero, pero no lo es "necesariamente", para poder usarlo en situaciones prácticas es más parecido al montón de decimales como el numero de más arriba, con muchos más ceros adelante.

La ecuación de Schrodinger que describe la probabilidad de encontrar a una partícula en un tiempo dado.
Lo curioso es que es una onda de probabilidad por lo que da distintas probabilidades a distintas posiciones, sin embargo aquí estamos todo junto.

El famoso gato de Schrodinger

Pero no todos los casos posibles de algunas situaciones tienen la misma probabilidad. En un curso de primero de primaria es mucho más probable encontrar niños de 5 años que de 6 o 7, y muy poco probable a alguien de menos de tres años o de más de treinta. Se puede ver gráficamente, a estas distribuciones, y la más normal es la que se llama NORMAL, cuya función matemática la describió Gauss y se conoce también como la campana de Gauss.

Imagen tomada de matematicasdigitales.com

     Hay otras distribuciones que cumplen con el texto de la imagen, es decir la integral (si no sabes lo que es un integral no te pierdas el siguiente artículo) de toda la función es igual a 1, cumpliendo por supuesto con la definición de probabilidad. Tal vez lo interesante de una distribución normal es que donde se indica m o u (más popular y general) es el valor con mayor probabilidad y equivale al promedio de toda la función. Donde se indica  -s y  s   (-sigma y sigma) es la desviación a derecha e izquierda de los valores contiguos al de mayor probabilidad y como es evidente en muchos fenómenos también tienen una probabilidad elevada. Una Distribución Gaussina se suele representar como N(m,s) y existe una tabla del valor de la integral para la distribución N(0,1) que es la propiamente dicha Normal pues sus valores se ajustan o normalizan para que resulte m=0 y s=1.

La mayoría de los caso probables están entre -3sigma y 3sigma, en muchos casos de rigor científico se exige  5sigma. 

 La probabilidad a veces parece que es cuestión de suerte, otras veces parece que tiene más determinación y aciertos que la matemática no probabilista. Lo cierto es que está presente y podemos usarla para describir matemáticamente procesos que no tenemos certeza que se presenten.

    

Modelos Matemáticos IV

Modelos Matemáticos Modernos.

Un punto, una palabra común y a la que le asignamos pronto una definición gráfica. Y tiene un uso definido en gramática.

En matemática y geometría es un concepto básico, más no muy claro para usarlo en un modelo matemático. Por ejemplo $\pi$ es un punto distinto de 3,14159265359 y todos los decimales más que puedan agregarse.
No son $\pi$, en el sentido más estricto, si cambia tan solo uno de esos números, pues los puntos en una recta numérica son infinitos.

Otro concepto básico es el de línea que se define como la sucesión continua de puntos. En el ejemplo anterior en realidad se hablaba de que $\pi$ es distinto en la línea recta numérica a cualquier otro punto pues para identificar a un punto se necesita de un sistema de referencia cuyo origen sea 0.

Recta Numérica en la cual se ha señalado a $\pi$

En el mundo real este sistema de referencia es de tres dimensiones, cuyo origen se puede representar como  un arreglo = (0,0,0).
 Se puede incluir al tiempo en un sistema cuyo origen es (0,0,0,0). Por ejemplo el punto (2,1,3,6) toma un significado de un punto que se encuentra a 2 unidades de medida del origen por lo largo, a 1 unidad de distancia por lo ancho, a 3 de distancia por lo alto y a 6 unidades de medida de tiempo desde el inicio por decirlo de alguna manera.

Ejemplo de como se representa un punto en 4 dimensiones, solo interesa el instante en el que se ha definido la posición.

La unidad de medida es una convención para que representen lo mismo un metro o un segundo en cualquier lugar del mundo. Teóricamente se puede expresar cualquier porción o fracción pequeñísima de la unidad, es decir se puede hablar de 0,000001 segundos (tiempos en los que se mide por ejemplo la realización de una operación en una computadora) e incluso cantidades más pequeñas con muchos más ceros adelante. Sin embargo Planck demostró que por debajo de ciertas cantidades muy pequeñas el mundo debe funcionar muy distinto, iniciando así la teoría cuántica.

Por tanto en un modelo matemático que utilice los puntos y la definición normal de línea, llamado modelo analógico, al final se debe poder llegar a un modelo discreto, en donde las mediciones ya no se pueden hacer con una cantidad infinita de decimales de cierta unidad de medida, sino solo a saltos de múltiplos de las cantidades cuánticas. Tal vez un ejemplo sencillo es que un modelo de población no se puede hablar de 2,4 individuos, tan solo se puede hablar de individuos completos, la cantidad cuántica en modelos de población. Sin embargo cuando se habla de poblaciones muy grandes ya se puede decir 2,4 miles de individuos, lo mismo pasa con la mayoría de modelos matemáticos para otras variables físicas, dado que la cantidades cuánticas son muy pequeñas en relación a lo que nuestros sentidos pueden captar.
En esto también se basa la digitalización, pues usando muchos valores discretos escuchamos una canción guardada en un computador como si estuviéramos en frente del artista, y así una innumerable cantidad de acciones que realizamos cotidianamente.

Una canción en 8bit (formada con máximo 256 sonidos, incluido el silencio) 

 La canción tomada de un vídeo análogo y pasado a digital para subirlo a Youtube.

Dada la enorme cantidad de datos también es necesario tratarlos con otra rama de la matemática, la probabilidad, pues sabemos que estamos compuestos de células pero es poco práctico realizar mediciones a cada una de ellas, por lo que se realiza experimentos a un grupo y se espera que las demás se comporten de la misma manera. O se utiliza a las de un individuo y se espera que se obtengan resultados similares en las células de otro individuo. La medicina ocupa mucho de esto, pues no es posible probar un nuevo medicamento en toda la población para asegurar su efectividad pero es posible considerar un porcentaje de población a la cual no surtirá efecto o un porcentaje en el cual se generarán efectos no deseados.
Sobre probabilidad se discutirá más en el siguiente artículo.  

Si una vacuna sirve, se espera que elimine a la totalidad de virus presentes.

Otra "dificultad" que tienen los modelos matemáticos, por lo menos en física, es que no toman en cuenta que deben ser válidos en cualquier sistema de referencia, es decir en "donde" y "cuando" queramos poner el origen, ya que los sistemas validos en cualquier sistema de referencia no hacen mucha diferencia entre una dimensión de distancia o tiempo, tal cual como nosotros percibimos, como lo demostró Einstein en su teoría de relatividad.
Algo a lo que no estamos acostumbrados a pesar de que ya se han adaptado la mayoría de modelos matemáticos y físicos a esta condición.

El GPS te indica donde te ubicas,lo cual seria imposible si no funcionaria independientemente de donde te ubiques y de que momento necesitas saberlo. 

Otra condición que en cambio es común saberla pero no se expresa en todos los modelos es la de incertidumbre, y no me refiero solo al principio postulado por Heisenberg sino también a la mas perceptibles como que no podemos responder la hora exacta a una persona que nos la pregunta, para cuando terminemos de hablarle habrán pasado algunos segundos, o que sin herramientas precisas no se puede tomar medidas precisas. Y en cuanto al de Heisenberg tiene mucho que ver con que no se puede medir con precisión simultáneamente pares de variables físicas. Esto último también tiene que ver con que no se puede conseguir lo máximo de algo sin el costo de obtener lo mínimo de otra cosa, no es posible obtener lo máximo de ambas y trata de obtener lo mínimo de ambas es muy difícil.

Por tanto los modelos matemáticos establecidos (aquellas ecuaciones que estudias en el colegio o universidad) se ajustan a la experimentación, por ende a la realidad. Pero por experimentación mismo se ha llegado a ver la necesidad de incluir la teoría cuántica y de la relatividad para explicar ciertos fenómenos que aquellas ecuaciones no predicen o satisfacen adecuadamente.

Los modelos matemáticos se vuelven más complejos y es menos común conocer de aquellos fenómenos hasta que se realizan experimentos o hasta que su utilidad y aplicabilidad se vuelve cotidiana. Por ejemplo todos sabían que el sol es una fuente de energía hace unos siglos, pero  solo hemos optimizado su uso desde el siglo pasado, pues la verdad antes no sabíamos como hacerlo.

Además aunque el modelo matemático es más complejo, la idea que antecede el desarrollo de nuevos modelos es mucho más simple y general, y al igual que si de un  modelos de  un atuendo de vestir se tratara, se vuelve más elegantes.

¿Acaso se puede simplificar más la relación entre energía y masa?

Y de eso trata hacer modelos matemáticos, acercarse cada vez más al funcionamiento de la naturaleza en un lenguaje que podemos entender y sacar provecho de aquel entendimiento. Si bien puede volverse más difícil entender matemáticamente como logramos ver un objeto. (Desde que la luz del Sol se emite, se refleja en el objeto, llega a nuestros ojos, y la función que cumplen nuestros ojos y la que cumple nuestro cerebro en convertir esa luz en información), sin ese conocimiento fuera imposible ayudar a ver mejor a los que lo necesita o de plano dar vista a quien no tiene.

Mejorar los modelos matemáticos se vuelve un objetivo de la ciencia y aplicar los que ya se conocen, aunque quizás jamás lleguen a ser ideales, es indispensable para el progreso
Además un modelo matemático no necesariamente es el último en su campo de estudio, pues las ideas en que se basa son humanas y los humanos cometemos errores.
 Es aquí donde entra el método científico con el fin de depurar las ideas y mejorar los modelos matemáticos, y la matemática mismo puede cambiar con el fin de acercarnos más al  entendimiento del funcionamiento del universo y de cada una de las partes que lo componen.

Documental Recomendado:
Qué es un grado?

Modelos Matemáticos III: Vectores y Matrices

Día a día esperamos tener en orden las cosas. La naturaleza así mismo tiene un orden, y los podemos representar matemáticamente, tanto los procesos humanos como los naturales, mediante lo que se llaman arreglos o arrays (en inglés). Una propiedad importante de los arreglos es que poseen dimensiones, al igual que se entiende el mundo como lo vemos con nuestros ojos, de tres dimensiones. 

Además pueden ser de dimensión cero, es decir un número normal, llamado también escalar, se puede representar como un punto gráficamente.

De una dimensión, varios números formando una fila o una columna, llamado vector, se representa con una línea y además se le puede dar sentido y dirección. Ejemplo: $ \left[ 2\quad 3 \right] $ es un vector de dos dimensiones. Ojo con eso el vector es una array de una dimensión, pero a su vez puede contener otra cantidad de dimensiones, un vector de una dimensión también es un escalar.

De dos dimensiones, un conjunto de números ordenados en filas y columnas, llamado matriz, se representa como un plano. Ejemplo: $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, la disposición acostumbrada en un teclado numérico  de tres filas y tres columnas. Al igual que los vectores, la matriz es un array de dos dimensiones, sin embargo puede contener una cantidad cualquiera de filas y columnas.

De tres dimensiones, un conjunto de matrices,se representa como un espacio tal como ven nuestros ojos. Así mismo pueden ser arreglos de más dimensiones, por ejemplo la realidad según la relatividad general es de 4 dimensiones, y la teoría de cuerdas propone una realidad de 11 dimensiones.

Estos últimos ejemplos demuestran la importancia de los arreglos, pues logran describir la base sobre la cual se sostienen los demás modelos matemáticos. La mayoría de cursos formales de física inician con una introducción de calculo vectorial, pues resulta sumamente útil el concepto de vector para explicar matemáticamente un fenómeno. En el artículo anterior se habló de la velocidad en un vector de una sola dimensión, un escalar, sin embargo para describir mejor el fenómeno se debería usar $ \frac { d\overrightarrow { posición }  }{ dt } =\frac { d\overrightarrow { x }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { y }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { z }  }{ dt } $, que indica el movimiento en las tres dimensiones del espacio, tal como perciben nuestros ojos.

Otra cualidad de gran importancia de los arreglos es su uso en computo de información, pues el hecho de tener datos ordenados, proporciona una gran ventaja para la elaboración de algoritmos. Es por esto que a un nivel básico se puede entender la memoria de un computador como un arreglo, no de números simples, sino de bytes; que a la vez es un arreglo de 8 bits, unidades básicas de información,que pueden ser verdadero o falso.

Otro uso en la informática es el despliegue de datos visualmente. Las pantallas modernas, díganse planas, son una matriz, y cada elemento es un píxel, cada píxel a su vez tiene tres partes, una de color rojo, una verde y una azul. Colocando los valores adecuados de intensidad para cada color del píxel se pueden conseguir los mas variados colores. Colocando en cierto orden los píxeles de un color dado se forman figuras, letras, imágenes, etc.

Una cámara fotográfica digital así mismo tiene sensores cuyas celdas se encuentran colocadas en forma matricial, según la intensidad de la luz que llega a cada celda se puede formar la imagen.

Matriz correspondiente a una celda de un sensor ccd usado en la cámaras digitales.

La asignatura de la Matemática que estudia los arreglos se llama Álgebra Lineal, sin embargo aplicaciones no lineales han permitido el desarrollo de una nueva rama llamada Cálculo Tensorial.

Al hablar de digital, hablamos de cantidades discretas, a pasos determinados, ya sea el bit que solo puede ser 1 ó 0, o ya sea refiriéndonos al tiempo, ya que el mundo no es digital y para transformarlo como tal se necesita tiempo. Al hablar en "digital":  una línea continua como de la geometría clásica,de puntos infinitos,  pasa a ser un vector con una cantidad finita de elementos. 

La transformación de la línea al vector se pude realizar mediante muestreo, es decir tomando solo ciertos puntos de dicha linea. La forma más sencilla es hacerlo cada cierto tiempo determinado, por ejemplo cada 0,01 segundos, es por eso que se dice que el tiempo también se vuelve discreto.

Discretización de una señal.

La línea verde que son mediciones reales, se convierten en un vector que toma como elementos cada uno de los datos, tomados en los tiempos determinados por la líneas naranjas.

 El vector Dato permite trabajar con dichos valores en una computadora o cualquier sistema digital, realizando cualquier operación. Para poder utilizar la línea verde del gráfico anterior, en un equipo electrónico, se necesita un equipo diseñado particular y específicamente para la operación requerida.

En fin, sin el concepto matemático de arreglo nos es imposible dale un orden al mundo físico, ya sea en la forma que perciben nuestros sentidos o en la forma que hemos desarrollado de procesarlo y sacarle mayor provecho mediante digitalización.

Son sin duda, dado su capacidad de organizar, los arreglos lo que nos permite entrar a la era conocida como de la Información. Pues ninguna información es útil si no puede localizarse y relacionarse con otras de temática semejante. 
Como dato final y curioso, lo que acabas de leer esta almacenado en vectores de bytes, que con un estándar conocido como ASCII  relaciona cada byte con un carácter de texto. Lees gracias también a los píxeles de tu pantalla, que llegan hasta tus ojos gracias a la luz, que sera uno de los temas a tratar en el próximo artículo. Porque todos estamos contentos con los vectores físicos para explicar fenómenos pero nos falta conocer (modelar), que produce y que actúa en tales fenómenos. Además, porque el siguiente artículo casi solo trata de física, aprovecharemos para crear un enlace a otra asignatura matemática que se emplea para modelar todo. Quizá no me crees, pero con eso puedo apostar.  

    

Modelos Matemáticos II: Derivadas

Ahora que ya hemos visto aquí problemas cuyo modelo matemático se expresan con ecuaciones algebraicas, es hora de ver problemas que tienen más dinamismo, más acción por decir de alguna forma.

Considerando la caída libre de los cuerpos, o la caída de objetos al piso (o como se le quiera llamar).
Se puede observar que al lanzar un objeto para arriba, este cae luego de alcanzar cierta altura. ¿Podemos decir a qué altura llega?, ¿Qué tiempo demora en caer? o ¿Hará un hueco en el piso al caer?
De hecho si podemos, para lo cual nos basta saber que EC. 1 $v=\frac { dx }{ dt }$ lo que quiere decir que la velocidad es igual a la variación de la distancia en el transcurso del tiempo.
Entonces tenemos que buscar como varía la distancia con respecto al tiempo, para lo cual lanzamos un objeto y vemos lo siguiente (bueno no un objeto en este caso)

Si gráficamos la relación entre distancia y tiempo tendremos algo bastante parecido a:

Cuya expresión matemática más próxima es de la forma EC. 2 $ y=-a{t}^{2}+bt+c$ donde c es la altura máxima, b es una cantidad que depende de las condiciones climáticas y la forma del objeto pues se refiere a la fricción del aire, y finalmente a es una constante que vamos a ver que significado tiene más adelante, pero antes se necesita saber lo siguiente: (Pensando en las personas que no conocen cálculo)

Estos sencillos conceptos como ver si una línea va de subida o de bajada, son  la misma comprensión con la cual Newton empezó a colocar en números a la naturaleza. Claro que existen muchos más conceptos necesarios para entender con teoría matemática una derivada, pero en esencia se entiende mejor con los dibujos anteriores.
Entonces podemos definir sencillamente una derivada como la dirección de cambio de un fenómeno, si es cero quiere  decir que no hay cambios o se llego a un punto de inflexión. Si es un numero positivo quiere decir que aumenta con respecto a lo que estemos derivando. por último si es un número negativo pues lo contrario, que disminuye respecto con lo que estemos derivando.
Visto de otra forma simplista es la división de una cantidad muy pequeña para otra cantidad muy pequeña, y de distintas unidades.

La mayoría de fenómenos son dinámicos, ya sea en la naturaleza, economía, sociedad ,etc. por eso sus modelos matemáticos incluyen derivadas, que es la herramienta matemática para denotar variaciones.
En cuanto a los puntos de inflexión, su importancia reside en que son los mínimos o máximos que se pueden alcanzar, lo cuál por lo general responden a nuestras preguntas más inmediatas al observar algo, tales como ¿Qué tan alto puede llegar?, ¿Cúanto puede llegar a costar?, ¿Qué tanto puede llegar a crecer?, ¿Cuánto demorará en llegar?, etc.

Volviendo a lo anterior, en el primer gráfico se nota claramente que la pendiente es negativa, pero el sentido común nos dice que algo que empieza a caer desde el reposo, con velocidad cero, aumenta su velocidad y no la disminuye, se hace más negativa, como no indica una pendiente negativa. Debemos tener cuidado de como expresamos el fenómeno, o mejor dicho de la perspectiva desde la cual lo observamos. En la vida cotidiana y por eso mismo transportado a la matemática, se denota lo positivo como lo de arriba o que esta a la derecha, y como negativo lo que esta abajo o a la izquierda. Por aquello un movimiento que va hacia abajo tiene signo negativo, lo cual de manera retrospectiva indica que el signo negativo se debe a un movimiento hacia abajo, simplemente una convención para poder distinguir el sentido de movimiento.

En ocasiones menos es más.

Estas convenciones de signos son comunes en los modelos matemáticos, siendo algunos tan antiguos y usados a pesar de ser "erróneos", como el sentido de la corriente eléctrica que indica el movimiento de cargas positivas, pero sabemos que las que se mueven son las cargas negativas, pero incluso podríamos cambiar la consideración de cargas negativas por positivas y viceversa sin alterar por ello el funcionamiento de la naturaleza.

Ahora aplicaremos la operación matemática de derivar  a la EC. 2, (si no conoces cálculo puedes revisar reglas de derivación o tablas) obteniendo:  EC. 3 $ \frac { dy }{ dt } =-2at+b$. Esta sería la expresión matemática de la velocidad de un cuerpo en caída libre, si para no complicarnos consideramos que no hay fricción es decir $b=0$, obtenemos que la velocidad es $V=-2at$, lo cual no indica que a pesar que el dibujo del movimiento es una curva, el dibujo de la velocidad es una línea. En este caso la derivada es de la posición "y" con respecto al tiempo "t", y la expresión de la cual se presenta la gráfica a continuación indica que la velocidad incrementa proporcional al tiempo que transcurre, es decir a mayor tiempo, la velocidad es mayor (aunque más negativa según la convención)  

La pregunta es que sucede si volvemos a derivar, obteniendo la variación de la velocidad respecto al tiempo:

EC. 4$\frac { dV }{ dt } =\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } = -2a $, a este concepto se le llama aceleración, en el caso del fenómeno de caída libre, está depende solamente de a, si a es constante, como hemos supuesto en las derivadas (ponerse a derivar tomando en cuenta a, b y c como "no constantes", variables que también dependen de "t", se puede realizar a mano. Considerando como variables que dependen de "y" y "t", es una de la razones por la cual fue necesario desarrollar los computadores),primero si no conocemos su valor, da lo mismo poner a que 2a (Este tipo de cambio de variables o simplificar las expresiones, también es común en el desarrollo de modelo matemáticos). Segundo llegamos a vislumbrar que la caída del cuerpo, y que no quede flotando, se debe a que existe algo que produce aquella cantidad "a", a ese algo le llamamos gravedad y "a" es la aceleración que produce sobre un cuerpo, con las consideraciones que hemos tomado se nota que no depende de la posición ni del material del objeto, es la misma para una pluma como para una moneda, el porque la puma demora más cayendo se debe a su forma, la cual no consideramos desde el momento en que hicimos $b=0$. Por cierto $ a = 9,8 \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $ en el planeta Tierra en promedio, pero en realidad varía con la altura, así que es ligeramente distinta en la playa que en una montaña, y casi nula la variación desde una mesa al piso.

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Manipulando tan simple definición $ v=\frac { dx }{ dt }$, conociendo que es una derivada, y observando el comportamiento de los objetos de este universo se han logrado muchas cosas útiles, incluso las teorías de Einstein parten de este concepto y lo llevo mucho más allá de las convenciones establecidas en su tiempo, gracias también a las Ecuaciones de Maxwell, que son un conjunto de cuatro ecuaciones, cuyas soluciones deben satisfacer las condiciones de las cuatro a la vez. sobre este tipo de modelamiento matemático se hablará en la siguiente entrega.