Modelos Matemáticos V: Probabilidad

  Hasta ahora todas las formas que hemos visto para modelar fenómenos son muy confiadas en que realmente algo va a suceder tal como lo expresan sus fórmulas matemáticas, o al menos de manera muy parecida.

Pero los hechos, y aquí se considera un principio llamado de  causalidad, dependen de hechos anteriores. Y a su vez de hechos que se realizan paralelamente y es muy difícil considerar a todos ellos en una fórmula matemática que explique a solo uno, especifico y delimitado en tiempo y espacio.

 La probabilidad permite modelar matemáticamente justamente esos procesos o fenómenos que involucran una gran cantidad de eventos o elementos, es más, mientras mayor número de elementos mejor se ajusta el modelo a la realidad.

  

 El sentido común nos dice que al comprar un boleto de lotería tenemos más probabilidad de ganarla que aquel que no compró un boleto, pero ¿hasta qué punto es esto cierto?. Para eso definiremos la probabilidad de un suceso como la cantidad de acontecimientos favorables dividido para la cantidad de todos los acontecimientos posibles. En el ejemplo de la lotería suponiendo que se usan boletos numerados del 1 al 99999, tendríamos 99999 casos posibles y si solo compramos un boleto, 1 caso favorable.

                     $P=\frac { favorables }{ todos }  = \frac { 1 }{ 99999 } = 0.0000100001$

Es fácil llegar a la conclusión de que la máxima probabilidad es 1, cuando todos los casos son favorables. Por esto se le representa multiplicado por 100, es decir en porcentaje.

 Es necesario diferenciar un porcentaje de probabilidad de un porcentaje de cantidad, decir 50% de una moneda es distinto al 50% de probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda.

 Comparando el ejemplo de la moneda y el ejemplo de la lotería mediante experimentación (Es curioso que podemos hacerlo con la misma moneda, primero realiza lanzamientos de la moneda y luego compra con ella un boleto de lotería) se ve que la probabilidad que supusimos que es para un único acontecimiento en el tiempo, una solo lanzamiento o un solo sorteo, es también una probabilidad para varios acontecimientos es decir que la probabilidad de que salga cruz en 20 lanzadas sigue siendo del 50% y esperaríamos que 10 sean cruz, pero como dice el gráfico un 50% de probabilidad no es un 50% de cantidad y puede que al final las 20 lanzadas sean cara, pero si realizamos 1 millón de lanzadas es más seguro que medio millón sea cruz y el otro medio millón resulte cara. ¿Por qué? Porque la probabilidad funciona mejor mientras más elementos se tomen en cuenta, pues si resultara algo diferente habría que cambiar el 50% a otro valor y ajustar a la realidad.

 Es por eso que la probabilidad es una buena forma de modelar fenómenos que ocurren muchas veces o que implican una gran cantidad de datos, pero ¿Qué tan determinista es una probabilidad?. Parece una pregunta tonta pero es necesario conocer que tan apegado a lo que realmente ocurre es una probabilidad o si como modelo matemático que es, se queda en el terreno de la matemática formal y abstracta.  

 Ahora con el ejemplo de la lotería vemos que para ganarla necesitamos comprar un boleto una cantidad considerable de veces y eso solo para que el 0,00001% de probabilidad se vuelva más cercano al 0,0001% de cantidad, y esto comprando el mismo número siempre, es decir el que compra un boleto tiene más probabilidad que el que no compra pero es tan baja que a efectos teóricos no hay diferencia pero resulta que si hay ganadores de lotería, por que ese es el resultado inevitable del sistema de juego si se venden todos los boletos mas no porque el comprador del boleto ganador compró más boletos, a menos que sean realmente muchos ( lo que casi seria como gastar el premio que se sortea para recuperarlo después).

 Lo mismo pasa en la naturaleza existen fenómenos que si bien tienen una probabilidad muy pequeña, ocurren y otros que con probabilidades mayores no logran ser observados. Pero que es lo que pasa con una probabilidad del 0,0000000000000000000000000001% o más pequeña,   pues que necesitaríamos vigilar a todo momento en todo lugar para lograr observar una posible ocurrencia. Ocurrencia que no puede suceder nunca o puede suceder repetidas veces seguidas para nunca más volver a aparecer, a esto podemos llamar aleatoriedad total pues la probabilidad de una proceso completamente aleatorio según la definición es de uno sobre todo lo posible, en matemático $\frac{1}{\infty}$ , que por lo general se toma como cero, pero no lo es "necesariamente", para poder usarlo en situaciones prácticas es más parecido al montón de decimales como el numero de más arriba, con muchos más ceros adelante.

La ecuación de Schrodinger que describe la probabilidad de encontrar a una partícula en un tiempo dado.
Lo curioso es que es una onda de probabilidad por lo que da distintas probabilidades a distintas posiciones, sin embargo aquí estamos todo junto.

El famoso gato de Schrodinger

Pero no todos los casos posibles de algunas situaciones tienen la misma probabilidad. En un curso de primero de primaria es mucho más probable encontrar niños de 5 años que de 6 o 7, y muy poco probable a alguien de menos de tres años o de más de treinta. Se puede ver gráficamente, a estas distribuciones, y la más normal es la que se llama NORMAL, cuya función matemática la describió Gauss y se conoce también como la campana de Gauss.

Imagen tomada de matematicasdigitales.com

     Hay otras distribuciones que cumplen con el texto de la imagen, es decir la integral (si no sabes lo que es un integral no te pierdas el siguiente artículo) de toda la función es igual a 1, cumpliendo por supuesto con la definición de probabilidad. Tal vez lo interesante de una distribución normal es que donde se indica m o u (más popular y general) es el valor con mayor probabilidad y equivale al promedio de toda la función. Donde se indica  -s y  s   (-sigma y sigma) es la desviación a derecha e izquierda de los valores contiguos al de mayor probabilidad y como es evidente en muchos fenómenos también tienen una probabilidad elevada. Una Distribución Gaussina se suele representar como N(m,s) y existe una tabla del valor de la integral para la distribución N(0,1) que es la propiamente dicha Normal pues sus valores se ajustan o normalizan para que resulte m=0 y s=1.

La mayoría de los caso probables están entre -3sigma y 3sigma, en muchos casos de rigor científico se exige  5sigma. 

 La probabilidad a veces parece que es cuestión de suerte, otras veces parece que tiene más determinación y aciertos que la matemática no probabilista. Lo cierto es que está presente y podemos usarla para describir matemáticamente procesos que no tenemos certeza que se presenten.