Modelos Matemáticos IV

Modelos Matemáticos Modernos.

Un punto, una palabra común y a la que le asignamos pronto una definición gráfica. Y tiene un uso definido en gramática.

En matemática y geometría es un concepto básico, más no muy claro para usarlo en un modelo matemático. Por ejemplo $\pi$ es un punto distinto de 3,14159265359 y todos los decimales más que puedan agregarse.
No son $\pi$, en el sentido más estricto, si cambia tan solo uno de esos números, pues los puntos en una recta numérica son infinitos.

Otro concepto básico es el de línea que se define como la sucesión continua de puntos. En el ejemplo anterior en realidad se hablaba de que $\pi$ es distinto en la línea recta numérica a cualquier otro punto pues para identificar a un punto se necesita de un sistema de referencia cuyo origen sea 0.

Recta Numérica en la cual se ha señalado a $\pi$

En el mundo real este sistema de referencia es de tres dimensiones, cuyo origen se puede representar como  un arreglo = (0,0,0).
 Se puede incluir al tiempo en un sistema cuyo origen es (0,0,0,0). Por ejemplo el punto (2,1,3,6) toma un significado de un punto que se encuentra a 2 unidades de medida del origen por lo largo, a 1 unidad de distancia por lo ancho, a 3 de distancia por lo alto y a 6 unidades de medida de tiempo desde el inicio por decirlo de alguna manera.

Ejemplo de como se representa un punto en 4 dimensiones, solo interesa el instante en el que se ha definido la posición.

La unidad de medida es una convención para que representen lo mismo un metro o un segundo en cualquier lugar del mundo. Teóricamente se puede expresar cualquier porción o fracción pequeñísima de la unidad, es decir se puede hablar de 0,000001 segundos (tiempos en los que se mide por ejemplo la realización de una operación en una computadora) e incluso cantidades más pequeñas con muchos más ceros adelante. Sin embargo Planck demostró que por debajo de ciertas cantidades muy pequeñas el mundo debe funcionar muy distinto, iniciando así la teoría cuántica.

Por tanto en un modelo matemático que utilice los puntos y la definición normal de línea, llamado modelo analógico, al final se debe poder llegar a un modelo discreto, en donde las mediciones ya no se pueden hacer con una cantidad infinita de decimales de cierta unidad de medida, sino solo a saltos de múltiplos de las cantidades cuánticas. Tal vez un ejemplo sencillo es que un modelo de población no se puede hablar de 2,4 individuos, tan solo se puede hablar de individuos completos, la cantidad cuántica en modelos de población. Sin embargo cuando se habla de poblaciones muy grandes ya se puede decir 2,4 miles de individuos, lo mismo pasa con la mayoría de modelos matemáticos para otras variables físicas, dado que la cantidades cuánticas son muy pequeñas en relación a lo que nuestros sentidos pueden captar.
En esto también se basa la digitalización, pues usando muchos valores discretos escuchamos una canción guardada en un computador como si estuviéramos en frente del artista, y así una innumerable cantidad de acciones que realizamos cotidianamente.

Una canción en 8bit (formada con máximo 256 sonidos, incluido el silencio) 

 La canción tomada de un vídeo análogo y pasado a digital para subirlo a Youtube.

Dada la enorme cantidad de datos también es necesario tratarlos con otra rama de la matemática, la probabilidad, pues sabemos que estamos compuestos de células pero es poco práctico realizar mediciones a cada una de ellas, por lo que se realiza experimentos a un grupo y se espera que las demás se comporten de la misma manera. O se utiliza a las de un individuo y se espera que se obtengan resultados similares en las células de otro individuo. La medicina ocupa mucho de esto, pues no es posible probar un nuevo medicamento en toda la población para asegurar su efectividad pero es posible considerar un porcentaje de población a la cual no surtirá efecto o un porcentaje en el cual se generarán efectos no deseados.
Sobre probabilidad se discutirá más en el siguiente artículo.  

Si una vacuna sirve, se espera que elimine a la totalidad de virus presentes.

Otra "dificultad" que tienen los modelos matemáticos, por lo menos en física, es que no toman en cuenta que deben ser válidos en cualquier sistema de referencia, es decir en "donde" y "cuando" queramos poner el origen, ya que los sistemas validos en cualquier sistema de referencia no hacen mucha diferencia entre una dimensión de distancia o tiempo, tal cual como nosotros percibimos, como lo demostró Einstein en su teoría de relatividad.
Algo a lo que no estamos acostumbrados a pesar de que ya se han adaptado la mayoría de modelos matemáticos y físicos a esta condición.

El GPS te indica donde te ubicas,lo cual seria imposible si no funcionaria independientemente de donde te ubiques y de que momento necesitas saberlo. 

Otra condición que en cambio es común saberla pero no se expresa en todos los modelos es la de incertidumbre, y no me refiero solo al principio postulado por Heisenberg sino también a la mas perceptibles como que no podemos responder la hora exacta a una persona que nos la pregunta, para cuando terminemos de hablarle habrán pasado algunos segundos, o que sin herramientas precisas no se puede tomar medidas precisas. Y en cuanto al de Heisenberg tiene mucho que ver con que no se puede medir con precisión simultáneamente pares de variables físicas. Esto último también tiene que ver con que no se puede conseguir lo máximo de algo sin el costo de obtener lo mínimo de otra cosa, no es posible obtener lo máximo de ambas y trata de obtener lo mínimo de ambas es muy difícil.

Por tanto los modelos matemáticos establecidos (aquellas ecuaciones que estudias en el colegio o universidad) se ajustan a la experimentación, por ende a la realidad. Pero por experimentación mismo se ha llegado a ver la necesidad de incluir la teoría cuántica y de la relatividad para explicar ciertos fenómenos que aquellas ecuaciones no predicen o satisfacen adecuadamente.

Los modelos matemáticos se vuelven más complejos y es menos común conocer de aquellos fenómenos hasta que se realizan experimentos o hasta que su utilidad y aplicabilidad se vuelve cotidiana. Por ejemplo todos sabían que el sol es una fuente de energía hace unos siglos, pero  solo hemos optimizado su uso desde el siglo pasado, pues la verdad antes no sabíamos como hacerlo.

Además aunque el modelo matemático es más complejo, la idea que antecede el desarrollo de nuevos modelos es mucho más simple y general, y al igual que si de un  modelos de  un atuendo de vestir se tratara, se vuelve más elegantes.

¿Acaso se puede simplificar más la relación entre energía y masa?

Y de eso trata hacer modelos matemáticos, acercarse cada vez más al funcionamiento de la naturaleza en un lenguaje que podemos entender y sacar provecho de aquel entendimiento. Si bien puede volverse más difícil entender matemáticamente como logramos ver un objeto. (Desde que la luz del Sol se emite, se refleja en el objeto, llega a nuestros ojos, y la función que cumplen nuestros ojos y la que cumple nuestro cerebro en convertir esa luz en información), sin ese conocimiento fuera imposible ayudar a ver mejor a los que lo necesita o de plano dar vista a quien no tiene.

Mejorar los modelos matemáticos se vuelve un objetivo de la ciencia y aplicar los que ya se conocen, aunque quizás jamás lleguen a ser ideales, es indispensable para el progreso
Además un modelo matemático no necesariamente es el último en su campo de estudio, pues las ideas en que se basa son humanas y los humanos cometemos errores.
 Es aquí donde entra el método científico con el fin de depurar las ideas y mejorar los modelos matemáticos, y la matemática mismo puede cambiar con el fin de acercarnos más al  entendimiento del funcionamiento del universo y de cada una de las partes que lo componen.

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Qué es un grado?

MOTOR

Todo en el universo está en movimiento y la mayoría de ellos son rotacionales.

Los electrones alrededor del núcleo atómico, los movimientos moleculares.

Los remolinos y huracanes, las olas del mar. 

El planeta Tierra girando sobre su propio eje, alrededor del Sol. La Luna girando alrededor nuestro.

Nuestro Sistema Solar girando junto a la Vía Láctea, nuestra galaxia girando alrededor de otras.

Con tantos giros no es sorpresa que la rueda haya sido uno de los principales instrumentos utilizados desde hace muchísimos años atrás. Y es que rodar es la forma más fácil de desplazarse pues supone un solo punto de contacto a la vez, esto es menos fricción.

Y quisimos hacer rodar más cosas y necesitábamos algo que gire a según nuestra voluntad, que le podamos iniciar o parar el movimiento según nos convenga, que cambie de velocidad, que cambie de dirección, que logre mover cosas que nuestras fuerzas no permiten, que muevan gigantes, que creen remolinos, que nos lleven al cielo, que nos lleven a las profundidades del mar y las montañas.

 Muchas civilizaciones ya tenían herramientas para hacerlo, pero empleaban animales y propios humanos para lograr el movimiento. Hasta ahora perdura el pedal, que logra el movimiento mediante fuerza humana, lo usamos  principalmente en las bicicletas.

Pero queríamos algo más, algo que se moviera solo, que nos ahorre los trabajos duros. Quisimos y algunos franceses, italianos e ingleses y otros europeos lo inventaron, lo lograron mediante dos formas de alimentación de energía: eléctricos y térmicos. Esto fue a finales del siglo XVIII y en el siglo XIX, cuando principalmente se usaba el carbón como combustible para lograr vapor de agua, el vapor como ocupa más espacio que el líquido lograba mover pistones (Las jeringuillas (inyecciones) utilizan el fenómeno al contrario, mueves el pistón y reduces el espacio que ocupa el líquido). El movimiento coordinado de pistones genera el movimiento circular, era el inicio de una nueva era, la era Industrial.

Esquema básico de la máquina de vapor.

Durante el siglo XX principalmente se usaron los motores térmicos pues la electricidad era apenas conocida y era más fácil construir motores que necesitaban combustible, con cámaras (cavidades) para la explosión o quema de estos. En cambio los eléctricos necesitan de enrollar grandes cantidades de cable, lo que sin los primeros motores hubiese sido una tarea muy larga.  Además con el descubrimiento del petróleo, y su refinamiento en combustibles, el uso de motores se volvió en algo por defecto en las actividades humanas. Tal vez la aplicación de uso de motores más popular de esta época es el automóvil. 

Motor de Combustión de 4 tiempos, en el tercer tiempo usan tambíen electricidad.

Sin embargo los motores térmicos son poco eficientes en el uso de energía, la mayoría se transforma en calor no usado. Sin embargo debido a su desarrollo siguen siendo más usados pues se logra hacerlo funcionar más tiempo con litros de combustible que un eléctrico con una batería.
El problema como ven no es el motor sino la alimentación del motor, claro que en sistemas fijos no se necesita baterías sino que se conectan directamente a la red de energía.

Lastimosamente una batería no dura lo suficinete ni para motores tan simples como el de la foto.

Para que un motor eléctrico sea menos contaminante debe usar electricidad generada ecologicamente, porque si se usa electricidad generada térmicamente no hay gran diferencia en cuanto a contaminación evitada. 

Como un motor, se puede definir como un conversor de energía, convierte energía eléctrica o térmica en energía cinética, se usan prácticamente los mismos motores para la conversión inversa, es decir movimiento en energía eléctrica, donde es más factible. También se puede hacer el proceso inverso en los motores térmicos pero debido a las leyes de la termodinámica  y la poca eficiencia en un sentido, hacen que la energía aprovechable obtenida en la salida sea casi nula.

Un motor eléctrico además para su control requiere de dispositivos eléctricos de mucho menor coste y tamaño que los engranajes necesarios para controlar un motor térmico.

Tan pequeño o tan grande según se necesite.

Esquema básico de un motor eléctrico.

Motor en inglés es motor mismo o engine, pero engine también se refiere a otras máquinas y engineer quiere decir oficio relativo a las máquinas, y en español es ingeniero.

El motor es una de las herramientas que marcaron el inicio de la revolución industrial y tecnológica, y dio el nombre a una profesión, por eso se le dedica esta entrada en el blog y muy pronto aplicaciones del motor eléctrico y como controlarlos en el foro proyectos. 

Construcciones básicas- Motor

Además un motor eléctrico puede reducirse hasta escalas nanométricas y algunas universidades ya buscan aplicaciones a los nano motores:

Física

Al igual que la química, la física estudia la naturaleza en su conjunto pero ya no es enfoca en la estructura de la materia sino más bien en la interacción de esta última y la energía con el espacio y el tiempo.

Lo primera noción que nos viene al decir espacio y tiempo es la de movimiento. Un objeto que cambia de lugar en un intervalo de tiempo, es lo que llamamos movimiento del objeto.

Pero ¿cómo se mueve? y ¿por qué se mueve?, son preguntas que se hace la física. 

Para responderlas hemos inventado el concepto de fuerza, y quien lo puso en términos matemáticos fue Newton (si no te gusta la física por las matemáticas ya sabes a quien echar la culpa, pero también sin esa relación física-matemática no fuera posible que estés leyendo esto), y la fuerza es una relación entre la masa (u otra propiedad que se obtenga de una densidad) de un cuerpo y su estado de movimiento. 

También se le ha dado clasificaciones a la energía de acuerdo al movimiento de un cuerpo, la que hace posible que inicie es la energía potencial y la que tiene el cuerpo cuando está moviéndose es la cinética.  Y debido a la conservación de la energía mientras más rápido se mueve un objeto, menos energía potencial tiene, es decir menor capacidad de cambiar de dirección (iniciar un movimiento distinto). (Inercia, si esta totalmente detenido también se requiere mayor esfuerzo para que empiece a moverse)

Una de las energías potenciales más conocidas es la debida a la fuerza de gravedad, es lo que hace posible que todos los objetos caigan. 

Pero claro como habrás notado la Tierra no te ha tragado, esto se debe a que la superficie terrestre soporta todo el peso (fuerza ejercida por la masa) realizando a su vez una fuerza igual al peso pero para arriba. (Acción y Reacción)

¿Por qué entonces puedes clavar algo en la superficie pero no puedes aprovechar esa fuerza para volar?
Se debe a la presión, cuando efectúas una fuerza sobre una superficie esta se puede transmitir a otra superficie, si esta es más grande la fuerza disminuye, si es menor la fuerza aumenta. (Principio de Pascal).
Aquí un ejemplo de todo lo dicho hasta ahora:

Cuando saltas la fuerza con la que golpeas el piso al subir te es devuelta al caer por toda la superficie pero como solo tienes dos pies sientes que te golpea con mayor fuerza. En realidad si aprovechamos la presión para poder volar, pues gracias a la diferencia de presiones en la alas de los aviones se produce una fuerza en sentido contrario a la gravedad.

Actualmente se han clasificado las interacciones de la naturaleza mediante cuatro fuerzas:
  

1. La gravedad es una fuerza directamente relacionada con la masa de los objetos, un agujero negro que tiene bastante masa también provee de gran energía potencial que hace que todo vaya hacia ellos (por eso son unos tragones). La gravedad actúa en todo el universo pero mientras más lejos y menos masa(en realidad también actúa en sub-partículas sin masa) tiene un objeto menos se siente su efecto pero no desaparece. 

2. Otra fuerza es la electromagnética, esta en cambio está estrechamente relacionada con la cargas eléctricas(una propiedad que tienen todas las sub-partículas muy pequeñas pudiendo ser positiva o negativa y que por lo general en objetos grandes la suma total es neutra, es decir 0) y el movimiento de estas cargas, a distancias muy cortas es más fuerte (una fuerza fuerte) que la gravedad, tal vez se le nota más con un imán pero que la electricidad llegue hasta tu casa y haga funcionar los electrodomésticos, viniendo desde un lugar lejano, requiere una gran fuerza en las plantas de generación. A igual que la gravedad disminuye si se aumenta la distancia y también reduce si las cargas son menores. Es la única que se ha comprobado que puede ser de repulsión (cargas del mismo signo) o atractiva (cargas de signo opuestos).

Otra fuerza es la nuclear fuerte que es la encargada de mantener los núcleos atómicos unidos, si se logra separar el núcleo en núcleos más pequeños(fisión nuclear) se libera una gran energía, pues parte de la masa se convierte en energía, en esta fenómeno se basa el funcionamiento de las bombas atómicas. (Si a una fuerza se le pone el calificativo de fuerte es porque es muy, muy fuerte). 

Por ultimo tenemos la fuerza nuclear débil, que en realidad es más fuerte que la gravedad, disminuye tanto con la distancia que la única forma de presenciarla son las desintegraciones y radiactividad de los elementos más pesados de la tabla periódica, explica el por que elementos como el uranio son más inestables y por tanto más propicios para la fisión nuclear.  

Resumen gracias a la Wikipedia.
Es más correcto decir interacciones antes que fuerzas, pero es el doble de largo de escribir. (pereza ;))

Todo un poco enredado por todo el zoológico de partículas que se han ido proponiendo para mantener la simetría en la naturaleza y que luego ha sido comprobada su existencia una por una mediante experimentos. Pero justamente al tratar de detectarlas nos dimos cuenta de algo, no son simples pequeñísimas cantidades de masa o de carga, son también ondas de probabilidad. Y también que no pueden tener cualquier cantidad de energía o carga, sino que siempre son múltiplos de ciertas cantidades muy pequeñas llamadas cuantos.

Si todo esto no fuera suficiente y como muestra el video anterior, mientras más medimos o conocemos de la posición de una partícula, menos sabemos de su velocidad. (Principio de Incertidumbre). Lo que si logramos entender es que las ondas de probabilidad, adquieren un solo valor, colapsan, cuando las medimos.

De ahí la típica pregunta de los profes de física moderna de que si sales de un cuarto, ¿Estás seguro que las cosas siguen tal como las dejamos al salir? Cunado volvemos a entrar y observamos en efecto siguen tal cual, pero si no observamos, existe la minúscula probabilidad (minúscula queda en exceso demasiado grande) de que algo cambie de posición dentro del mismo cuarto o que salga de el. Esto se debe a la masa considerable de los objetos que podemos observar.

Sin embargo con partículas de masa muy pequeña o masa cero como el fotón (luz) las probabilidades son mucho mayores. Y de hecho ocurre y lo podemos observar:

Pero si observamos por que sale el patrón de interferencias y no solo dos líneas, por que estamos observando luz que es lo que ven nuestros ojos, pero si en las ranuras colocamos un medidor electrónico de la cantidad de luz que pasa, probablemente veremos que pasa igual cantidad de luz y que se debiera formar solo dos líneas.

Para complicarnos más debemos formular las leyes de la termodinámica: Todo tiende a equilibrarse térmicamente (temperatura es el movimiento de los átomos y moléculas debido a las fuerzas vistas anteriormente y todo tiende a equilibrarse a un ritmo)  y el calor fluye de los cuerpos más calientes a los fríos y no se puede volver a calentar un cuerpo sin dar más energía al sistema, pero como a todo el universo no hay como darle más energía, las fenómenos en los que hubo flujo de calor(que también es energía) que ya sucedieron no son reversibles en   su totalidad. (Ejemplo: Más claro el fuego calienta y quema  a todo lo que es más frío que el hasta que ya no tiene combustible de donde alimentarse, y a lo quemado le es imposible de recuperar su forma original.)

Aún mas complicación, como vimos todo en la física se relaciona al movimiento y a las fuerzas y estos tienen dirección y magnitud (cantidad), en la matemática lo más parecido son los vectores y por eso se modela matemáticamente gran parte de la física con ellos.