Modelos Matemáticos III: Vectores y Matrices

Día a día esperamos tener en orden las cosas. La naturaleza así mismo tiene un orden, y los podemos representar matemáticamente, tanto los procesos humanos como los naturales, mediante lo que se llaman arreglos o arrays (en inglés). Una propiedad importante de los arreglos es que poseen dimensiones, al igual que se entiende el mundo como lo vemos con nuestros ojos, de tres dimensiones. 

Además pueden ser de dimensión cero, es decir un número normal, llamado también escalar, se puede representar como un punto gráficamente.

De una dimensión, varios números formando una fila o una columna, llamado vector, se representa con una línea y además se le puede dar sentido y dirección. Ejemplo: $ \left[ 2\quad 3 \right] $ es un vector de dos dimensiones. Ojo con eso el vector es una array de una dimensión, pero a su vez puede contener otra cantidad de dimensiones, un vector de una dimensión también es un escalar.

De dos dimensiones, un conjunto de números ordenados en filas y columnas, llamado matriz, se representa como un plano. Ejemplo: $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, la disposición acostumbrada en un teclado numérico  de tres filas y tres columnas. Al igual que los vectores, la matriz es un array de dos dimensiones, sin embargo puede contener una cantidad cualquiera de filas y columnas.

De tres dimensiones, un conjunto de matrices,se representa como un espacio tal como ven nuestros ojos. Así mismo pueden ser arreglos de más dimensiones, por ejemplo la realidad según la relatividad general es de 4 dimensiones, y la teoría de cuerdas propone una realidad de 11 dimensiones.

Estos últimos ejemplos demuestran la importancia de los arreglos, pues logran describir la base sobre la cual se sostienen los demás modelos matemáticos. La mayoría de cursos formales de física inician con una introducción de calculo vectorial, pues resulta sumamente útil el concepto de vector para explicar matemáticamente un fenómeno. En el artículo anterior se habló de la velocidad en un vector de una sola dimensión, un escalar, sin embargo para describir mejor el fenómeno se debería usar $ \frac { d\overrightarrow { posición }  }{ dt } =\frac { d\overrightarrow { x }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { y }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { z }  }{ dt } $, que indica el movimiento en las tres dimensiones del espacio, tal como perciben nuestros ojos.

Otra cualidad de gran importancia de los arreglos es su uso en computo de información, pues el hecho de tener datos ordenados, proporciona una gran ventaja para la elaboración de algoritmos. Es por esto que a un nivel básico se puede entender la memoria de un computador como un arreglo, no de números simples, sino de bytes; que a la vez es un arreglo de 8 bits, unidades básicas de información,que pueden ser verdadero o falso.

Otro uso en la informática es el despliegue de datos visualmente. Las pantallas modernas, díganse planas, son una matriz, y cada elemento es un píxel, cada píxel a su vez tiene tres partes, una de color rojo, una verde y una azul. Colocando los valores adecuados de intensidad para cada color del píxel se pueden conseguir los mas variados colores. Colocando en cierto orden los píxeles de un color dado se forman figuras, letras, imágenes, etc.

Una cámara fotográfica digital así mismo tiene sensores cuyas celdas se encuentran colocadas en forma matricial, según la intensidad de la luz que llega a cada celda se puede formar la imagen.

Matriz correspondiente a una celda de un sensor ccd usado en la cámaras digitales.

La asignatura de la Matemática que estudia los arreglos se llama Álgebra Lineal, sin embargo aplicaciones no lineales han permitido el desarrollo de una nueva rama llamada Cálculo Tensorial.

Al hablar de digital, hablamos de cantidades discretas, a pasos determinados, ya sea el bit que solo puede ser 1 ó 0, o ya sea refiriéndonos al tiempo, ya que el mundo no es digital y para transformarlo como tal se necesita tiempo. Al hablar en "digital":  una línea continua como de la geometría clásica,de puntos infinitos,  pasa a ser un vector con una cantidad finita de elementos. 

La transformación de la línea al vector se pude realizar mediante muestreo, es decir tomando solo ciertos puntos de dicha linea. La forma más sencilla es hacerlo cada cierto tiempo determinado, por ejemplo cada 0,01 segundos, es por eso que se dice que el tiempo también se vuelve discreto.

Discretización de una señal.

La línea verde que son mediciones reales, se convierten en un vector que toma como elementos cada uno de los datos, tomados en los tiempos determinados por la líneas naranjas.

 El vector Dato permite trabajar con dichos valores en una computadora o cualquier sistema digital, realizando cualquier operación. Para poder utilizar la línea verde del gráfico anterior, en un equipo electrónico, se necesita un equipo diseñado particular y específicamente para la operación requerida.

En fin, sin el concepto matemático de arreglo nos es imposible dale un orden al mundo físico, ya sea en la forma que perciben nuestros sentidos o en la forma que hemos desarrollado de procesarlo y sacarle mayor provecho mediante digitalización.

Son sin duda, dado su capacidad de organizar, los arreglos lo que nos permite entrar a la era conocida como de la Información. Pues ninguna información es útil si no puede localizarse y relacionarse con otras de temática semejante. 
Como dato final y curioso, lo que acabas de leer esta almacenado en vectores de bytes, que con un estándar conocido como ASCII  relaciona cada byte con un carácter de texto. Lees gracias también a los píxeles de tu pantalla, que llegan hasta tus ojos gracias a la luz, que sera uno de los temas a tratar en el próximo artículo. Porque todos estamos contentos con los vectores físicos para explicar fenómenos pero nos falta conocer (modelar), que produce y que actúa en tales fenómenos. Además, porque el siguiente artículo casi solo trata de física, aprovecharemos para crear un enlace a otra asignatura matemática que se emplea para modelar todo. Quizá no me crees, pero con eso puedo apostar.  

    

Carrera Aeroespacial

Aprovecho este espacio para expresar, en un artículo largo y dedicado a la ciencia y al emprendimiento, una opinión personal. 

Felipe Torres

La carrera aeroespacial inicia hace mucho tiempo. El ser humano no se contenta con caminar, trotar y correr que son por naturaleza sus modos de movilización. Hemos aprendido a movernos en el agua, sobre tierra, bajo tierra y en el aire, pero sabíamos que las estrellas estaban más allá del límite que jamás alcanza una nube, que el cielo diurno mostrándonos las cosas en la Tierra nos ocultaba todo lo que está fuera de ella, teniendo que esperar a la noche para descubrir nuevos horizontes.

El viaje de Gagarin, la llegada del hombre a la luna, la construcción de la Estación Espacial Internacional y muchas otras estaciones, los sistemas de geo-posicionamiento (lease GPS, Galileo, Beidou), la primera foto tomada a la Tierra, el envío de satélites de comunicación y monitorización, Google Earth, el envió de las sondas Pioneer, el telescopio Hubble, la llegada de Opportunity, Spirit y Curiosity a Marte, y muchas travesías más al espacio han unido a la humanidad, nos han dado una visión de pertenecer al mismo planeta diferente a la que se tenia antes en donde pertenecer al mismo planeta significaba conquistarlo para un solo imperio, dominarle y esclavizar a los que no piensan igual, a los que no visten igual, en definitiva para exterminar al diferente.

La nueva visión es la de que quizás somos la única especie con raciocinio en algunos años luz a la redonda, la de protectores de un ecosistema planetario e incluso del sistema solar, la de insignificantes en comparación al tamaño del universo y a la vez de estar sobre "hombros de gigantes" al poder comprender en gran medida su  funcionamiento. En realidad no es tan nueva ni inicia con la carrera espacial pero se volvió más intuitiva, más rápida de comprender.

Primera foto de la Tierra

Claro para llegar más lejos se necesita vencer a la gravedad, se necesita una velocidad mínima de salida de 40320 Km/h es decir 1000 veces más veloz que un auto en una vía urbana y 43 veces más rápido que un avión comercial y 32 veces la velocidad del sonido. 

Alcanzar tales velocidades de despegue solo se consiguen con cohetes que consumen combustible a una tasa realmente impresionante, consumen aproximadamente un millón de kilos de combustible en poco más de 10 minutos, esto visto desde otro lado quiere decir que la mayor parte del peso de un objeto que se lanza al espacio es el combustible necesario para lanzarlo, que a su vez es el necesario para lanzar el peso del propio combustible y de la nave. Si se encontrara un combustible ultra ligero, el combustible necesario seria incluso menor, el problema es que ya se usa lo más liviano, que es el hidrógeno, el desafío esta en obtener más energía con menos cantidad de hidrógeno.   

Transbordador Espacial

Y lo bueno de esto es que teóricamente hay como conseguirlo a través de fusión nuclear, lo malo es que en la práctica no es tan simple lograr esa fusión además de que se necesitan los isótopos deuterio y tritio  mucho menos comunes que el hidrógeno llamado hidrógeno-1 que es el que encontramos en el aire y el agua.

Tomada prestada de http://www.malaciencia.info

Nos encontramos además que la investigación y producción de cohetes y de energía nuclear generalmente fue usada primero en la guerra antes que sea modificada para el uso aeroespacial. Situaciones como está hacen que cualquier intento de experimentar con cohetes y energía nuclear sea penalizado por la ONU, una organización mundial que aboga por la democracia y paz, y que países pequeños no dispongan de programas espaciales, pues el dominio militar y energético son lo que hacen a un país dominante sobre el resto, como se demostró en la guerra fría, que termino entre Estados Unidos y la Unión Soviética, pero para el resto del mundo no ha hecho más que empezar si la visión antigua permanece, debido a que la era del conocimiento ha empezado, no se necesitara fuego para diezmar poblaciones, sumir ciudades en caos o alterar de manera peligrosa el ánimo de multitudes.

La nueva visión de ser más unidos no basta cuando personas, que vinieron al mundo antes de los hechos descritos en el segundo párrafo,  gastaron dinero en el desarrollo de armas y en su fabricación, dinero que pudo haberse usado para el bienestar mundial se uso para el bienestar de unos pocos. 

Afortunadamente hubo gente que también nació antes pero si tuvieron visión y usaron de lo que disponían para lograr objetivos, que traían bienestar pero también trajeron esperanza, pronto la investigación de cohetes transcontinentales se convirtieron en prototipos de cohetes espaciales, la investigación de bombas nucleares se convirtió en plantas de energía eléctrica y baterías de larga duración, los radares y tecnología de encriptación se transformaron en satélites de comunicación.

En definitiva no existiría carrera espacial si no hubiera sido por la carrera militar y armamentística, pero es preferible a que hubiera sucedido al revés, es decir que los instrumentos y herramientas usadas para llegar al espacio hubieran sido desarrolladas primero y luego una mente con la vieja y antigua visión de dominación al mundo las hubiese usado para la guerra, teniendo en cuenta que quien ha visto la foto de la Tierra tomada desde cualquier punto del espacio estaría lo demasiado loco como para destruirla sabiendo que el lugar más cercano donde podría habitar esta a siglos de travesia espacial.

Lamentablemente el comercio de armamento es una negocio multimillonario, el uso de esa tecnología en armamento es indispensable para vender más, y repito de nuevo el poder militar determina que tan poderoso  es una nación, cuanto mejor si cada uno de sus ciudadanos puede llevar un arma, y como en todo negocio una de las formas de que las ventas no caigan es ofrecer productos con cierto grado de innovación. El alcance y velocidad de un cohete seguramente son parámetros preciados para la promoción de venta de alguno, tanto si son dedicados para el ataque en una guerra o para el lanzamiento de una satélite artificial.

El soporte de cubrir necesidades básicas no llegan aún, en el año actual, 2013, a toda la población mundial, en parte por que la misma población crece desmedidamente sin tomar propia conciencia de su reproducción (parece que no somos lo suficientemente responsables ni individualmente ni como sociedad), en parte porque los presupuestos anuales se enfocan en obtener ganancia o no endeudarse demasiado al final del año, no se enfoca en suplir las necesidades así hubiera que dejar de ir trabajar en otras áreas para lograr completar las infraestructuras de saneamiento, agua potable, electricidad y comunicaciones (entiéndase caminos, correo, teléfono).

Hace 10 años el río de una de las ciudades más grandes del Ecuador 

Si la guerra mata cientos, importa pero se le toma con cierta naturalidad, no es acaso para eso la guerra, pero si en una misión espacial o investigación relacionada al espacio muere uno, las críticas caen en seguida, se supone que la ciencia salva vidas, no debería quitar ninguna. La verdad es que ambas no deben quitar vidas, la guerra fría fue un ejemplo de como habiendo guerra hubo también investigación cientifica, sin embargo la guerra es de enemigos, la ciencia es de amigos.

Espero que para todos este claro que la ciencia no es parte de la guerra, quien hace ciencia para guerras no hace ciencia, hace guerra.

Quién aún no logra ver el planeta Tierra como un hábitat de coexistencia pacífica nos está condenando a los demás a la extinción, evolución significa mejorar y alcanzar más habilidades, navegar en el agua, considerando que el planeta es 70% agua, no es una gran logro pero es de mucha importancia y necesidad, viajar por el espacio sin llegar a un cuerpo celeste tampoco es un gran logro considerando que casi todo el universo es espacio vacío, lo que significa que todavía tenemos bastantes objetivos a los cuales dirigirnos. Aquel concepto de evolución de supervivencia del más fuerte queda frustrado al ver que los animales compiten no por la propia supervivencia del individuo sino la preservación de la especie, los humanos casi pasamos a destruir la especie con el justificativo de demostrar fuerza. Algunos quedarán pensando pero al final si sobrevive la especie más fuerte, lo cual es cierto pero no tiene sentido que una especie carnívora elimine a todo aquel que tiene carne, pues luego tiene que cambiar de habito alimenticio o morir de hambre.
Vamos adelante en una carrera de conseguir logros que unan más a los hombres y conserven mejor a la naturaleza, que no haya motivos para la guerra.

El motivo de este artículo es la amenaza de guerra entre Corea del Norte y Estados Unidos, el negro recuerdo de la segunda guerra mundial retratada en películas, una conversación con mis padres y tíos, el hecho de que los militares estadounidenses tengan que declarar a herramientas informáticas como armas de guerra para que no les corten el presupuesto,  lo que implica que esta sucediendo justamente "eso", de pasar de algo beneficioso, la computadora y el Internet (que no dejaron de tener uso militar desde que fueron inventados, pero su uso es tan extendido que el uso militar paso a ser menor), a algo altamente peligroso. 

La visión no ha cambiado lamentablemente para algunos que se expresan en términos de odio hacia otros seres humanos, para ellos es como si las distintas revoluciones no significarán "nada", solo tal vez que el dominio debe ser más disimulado para que estas no ocurran. 

A ciertos mandos de empresas, y prefiero pensar que son de empresas y no de estados, no les llega el mensaje de ver un diminuto punto azul en la inmensidad del universo. Si fueran los mandos de los estados, realmente mejor nos fuera a cada individuo por su lado que un estado, que en cualquier lugar del mundo es lo principal de la sociedad después de la familia, que no vela por el bien de si mismo sino por el malestar de otros, sin entender que el bienestar mutuo es el único posible.

La iglesia, y de casi todas las religiones, con su influencia ha ayudado a que esto se mantenga controlado, ya que es el principal foco de ética y moral, sin estos los derechos humanos no son más que lindas palabras escritas. Lastimosamente cierto fanatismo de unos pocos grupos extra religiosos también amenazan la paz de la Tierra.

Tal vez parezca muy humanista lo que he escrito pero soy humano y si he cometido errores espero que no sean graves, esto es solo opinión, no de esas opiniones que por supuesta libertad ofenden a otros, es más espero no haber ofendido a nadie, sino llamar a reflexionar y espero comentarios y réplicas. Porque la verdad es una sola pero los intereses son muchos, y distorsionan la perspectiva desde la cual se mira. Espero la mía no este demasiado distorsionada y mis palabras no se alejen de la verdad, caso contrario sean ustedes los lectores los correctores de mis errores.