Modelos Matemáticos III: Vectores y Matrices

Día a día esperamos tener en orden las cosas. La naturaleza así mismo tiene un orden, y los podemos representar matemáticamente, tanto los procesos humanos como los naturales, mediante lo que se llaman arreglos o arrays (en inglés). Una propiedad importante de los arreglos es que poseen dimensiones, al igual que se entiende el mundo como lo vemos con nuestros ojos, de tres dimensiones. 

Además pueden ser de dimensión cero, es decir un número normal, llamado también escalar, se puede representar como un punto gráficamente.

De una dimensión, varios números formando una fila o una columna, llamado vector, se representa con una línea y además se le puede dar sentido y dirección. Ejemplo: $ \left[ 2\quad 3 \right] $ es un vector de dos dimensiones. Ojo con eso el vector es una array de una dimensión, pero a su vez puede contener otra cantidad de dimensiones, un vector de una dimensión también es un escalar.

De dos dimensiones, un conjunto de números ordenados en filas y columnas, llamado matriz, se representa como un plano. Ejemplo: $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, la disposición acostumbrada en un teclado numérico  de tres filas y tres columnas. Al igual que los vectores, la matriz es un array de dos dimensiones, sin embargo puede contener una cantidad cualquiera de filas y columnas.

De tres dimensiones, un conjunto de matrices,se representa como un espacio tal como ven nuestros ojos. Así mismo pueden ser arreglos de más dimensiones, por ejemplo la realidad según la relatividad general es de 4 dimensiones, y la teoría de cuerdas propone una realidad de 11 dimensiones.

Estos últimos ejemplos demuestran la importancia de los arreglos, pues logran describir la base sobre la cual se sostienen los demás modelos matemáticos. La mayoría de cursos formales de física inician con una introducción de calculo vectorial, pues resulta sumamente útil el concepto de vector para explicar matemáticamente un fenómeno. En el artículo anterior se habló de la velocidad en un vector de una sola dimensión, un escalar, sin embargo para describir mejor el fenómeno se debería usar $ \frac { d\overrightarrow { posición }  }{ dt } =\frac { d\overrightarrow { x }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { y }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { z }  }{ dt } $, que indica el movimiento en las tres dimensiones del espacio, tal como perciben nuestros ojos.

Otra cualidad de gran importancia de los arreglos es su uso en computo de información, pues el hecho de tener datos ordenados, proporciona una gran ventaja para la elaboración de algoritmos. Es por esto que a un nivel básico se puede entender la memoria de un computador como un arreglo, no de números simples, sino de bytes; que a la vez es un arreglo de 8 bits, unidades básicas de información,que pueden ser verdadero o falso.

Otro uso en la informática es el despliegue de datos visualmente. Las pantallas modernas, díganse planas, son una matriz, y cada elemento es un píxel, cada píxel a su vez tiene tres partes, una de color rojo, una verde y una azul. Colocando los valores adecuados de intensidad para cada color del píxel se pueden conseguir los mas variados colores. Colocando en cierto orden los píxeles de un color dado se forman figuras, letras, imágenes, etc.

Una cámara fotográfica digital así mismo tiene sensores cuyas celdas se encuentran colocadas en forma matricial, según la intensidad de la luz que llega a cada celda se puede formar la imagen.

Matriz correspondiente a una celda de un sensor ccd usado en la cámaras digitales.

La asignatura de la Matemática que estudia los arreglos se llama Álgebra Lineal, sin embargo aplicaciones no lineales han permitido el desarrollo de una nueva rama llamada Cálculo Tensorial.

Al hablar de digital, hablamos de cantidades discretas, a pasos determinados, ya sea el bit que solo puede ser 1 ó 0, o ya sea refiriéndonos al tiempo, ya que el mundo no es digital y para transformarlo como tal se necesita tiempo. Al hablar en "digital":  una línea continua como de la geometría clásica,de puntos infinitos,  pasa a ser un vector con una cantidad finita de elementos. 

La transformación de la línea al vector se pude realizar mediante muestreo, es decir tomando solo ciertos puntos de dicha linea. La forma más sencilla es hacerlo cada cierto tiempo determinado, por ejemplo cada 0,01 segundos, es por eso que se dice que el tiempo también se vuelve discreto.

Discretización de una señal.

La línea verde que son mediciones reales, se convierten en un vector que toma como elementos cada uno de los datos, tomados en los tiempos determinados por la líneas naranjas.

 El vector Dato permite trabajar con dichos valores en una computadora o cualquier sistema digital, realizando cualquier operación. Para poder utilizar la línea verde del gráfico anterior, en un equipo electrónico, se necesita un equipo diseñado particular y específicamente para la operación requerida.

En fin, sin el concepto matemático de arreglo nos es imposible dale un orden al mundo físico, ya sea en la forma que perciben nuestros sentidos o en la forma que hemos desarrollado de procesarlo y sacarle mayor provecho mediante digitalización.

Son sin duda, dado su capacidad de organizar, los arreglos lo que nos permite entrar a la era conocida como de la Información. Pues ninguna información es útil si no puede localizarse y relacionarse con otras de temática semejante. 
Como dato final y curioso, lo que acabas de leer esta almacenado en vectores de bytes, que con un estándar conocido como ASCII  relaciona cada byte con un carácter de texto. Lees gracias también a los píxeles de tu pantalla, que llegan hasta tus ojos gracias a la luz, que sera uno de los temas a tratar en el próximo artículo. Porque todos estamos contentos con los vectores físicos para explicar fenómenos pero nos falta conocer (modelar), que produce y que actúa en tales fenómenos. Además, porque el siguiente artículo casi solo trata de física, aprovecharemos para crear un enlace a otra asignatura matemática que se emplea para modelar todo. Quizá no me crees, pero con eso puedo apostar.  

    

Física

Al igual que la química, la física estudia la naturaleza en su conjunto pero ya no es enfoca en la estructura de la materia sino más bien en la interacción de esta última y la energía con el espacio y el tiempo.

Lo primera noción que nos viene al decir espacio y tiempo es la de movimiento. Un objeto que cambia de lugar en un intervalo de tiempo, es lo que llamamos movimiento del objeto.

Pero ¿cómo se mueve? y ¿por qué se mueve?, son preguntas que se hace la física. 

Para responderlas hemos inventado el concepto de fuerza, y quien lo puso en términos matemáticos fue Newton (si no te gusta la física por las matemáticas ya sabes a quien echar la culpa, pero también sin esa relación física-matemática no fuera posible que estés leyendo esto), y la fuerza es una relación entre la masa (u otra propiedad que se obtenga de una densidad) de un cuerpo y su estado de movimiento. 

También se le ha dado clasificaciones a la energía de acuerdo al movimiento de un cuerpo, la que hace posible que inicie es la energía potencial y la que tiene el cuerpo cuando está moviéndose es la cinética.  Y debido a la conservación de la energía mientras más rápido se mueve un objeto, menos energía potencial tiene, es decir menor capacidad de cambiar de dirección (iniciar un movimiento distinto). (Inercia, si esta totalmente detenido también se requiere mayor esfuerzo para que empiece a moverse)

Una de las energías potenciales más conocidas es la debida a la fuerza de gravedad, es lo que hace posible que todos los objetos caigan. 

Pero claro como habrás notado la Tierra no te ha tragado, esto se debe a que la superficie terrestre soporta todo el peso (fuerza ejercida por la masa) realizando a su vez una fuerza igual al peso pero para arriba. (Acción y Reacción)

¿Por qué entonces puedes clavar algo en la superficie pero no puedes aprovechar esa fuerza para volar?
Se debe a la presión, cuando efectúas una fuerza sobre una superficie esta se puede transmitir a otra superficie, si esta es más grande la fuerza disminuye, si es menor la fuerza aumenta. (Principio de Pascal).
Aquí un ejemplo de todo lo dicho hasta ahora:

Cuando saltas la fuerza con la que golpeas el piso al subir te es devuelta al caer por toda la superficie pero como solo tienes dos pies sientes que te golpea con mayor fuerza. En realidad si aprovechamos la presión para poder volar, pues gracias a la diferencia de presiones en la alas de los aviones se produce una fuerza en sentido contrario a la gravedad.

Actualmente se han clasificado las interacciones de la naturaleza mediante cuatro fuerzas:
  

1. La gravedad es una fuerza directamente relacionada con la masa de los objetos, un agujero negro que tiene bastante masa también provee de gran energía potencial que hace que todo vaya hacia ellos (por eso son unos tragones). La gravedad actúa en todo el universo pero mientras más lejos y menos masa(en realidad también actúa en sub-partículas sin masa) tiene un objeto menos se siente su efecto pero no desaparece. 

2. Otra fuerza es la electromagnética, esta en cambio está estrechamente relacionada con la cargas eléctricas(una propiedad que tienen todas las sub-partículas muy pequeñas pudiendo ser positiva o negativa y que por lo general en objetos grandes la suma total es neutra, es decir 0) y el movimiento de estas cargas, a distancias muy cortas es más fuerte (una fuerza fuerte) que la gravedad, tal vez se le nota más con un imán pero que la electricidad llegue hasta tu casa y haga funcionar los electrodomésticos, viniendo desde un lugar lejano, requiere una gran fuerza en las plantas de generación. A igual que la gravedad disminuye si se aumenta la distancia y también reduce si las cargas son menores. Es la única que se ha comprobado que puede ser de repulsión (cargas del mismo signo) o atractiva (cargas de signo opuestos).

Otra fuerza es la nuclear fuerte que es la encargada de mantener los núcleos atómicos unidos, si se logra separar el núcleo en núcleos más pequeños(fisión nuclear) se libera una gran energía, pues parte de la masa se convierte en energía, en esta fenómeno se basa el funcionamiento de las bombas atómicas. (Si a una fuerza se le pone el calificativo de fuerte es porque es muy, muy fuerte). 

Por ultimo tenemos la fuerza nuclear débil, que en realidad es más fuerte que la gravedad, disminuye tanto con la distancia que la única forma de presenciarla son las desintegraciones y radiactividad de los elementos más pesados de la tabla periódica, explica el por que elementos como el uranio son más inestables y por tanto más propicios para la fisión nuclear.  

Resumen gracias a la Wikipedia.
Es más correcto decir interacciones antes que fuerzas, pero es el doble de largo de escribir. (pereza ;))

Todo un poco enredado por todo el zoológico de partículas que se han ido proponiendo para mantener la simetría en la naturaleza y que luego ha sido comprobada su existencia una por una mediante experimentos. Pero justamente al tratar de detectarlas nos dimos cuenta de algo, no son simples pequeñísimas cantidades de masa o de carga, son también ondas de probabilidad. Y también que no pueden tener cualquier cantidad de energía o carga, sino que siempre son múltiplos de ciertas cantidades muy pequeñas llamadas cuantos.

Si todo esto no fuera suficiente y como muestra el video anterior, mientras más medimos o conocemos de la posición de una partícula, menos sabemos de su velocidad. (Principio de Incertidumbre). Lo que si logramos entender es que las ondas de probabilidad, adquieren un solo valor, colapsan, cuando las medimos.

De ahí la típica pregunta de los profes de física moderna de que si sales de un cuarto, ¿Estás seguro que las cosas siguen tal como las dejamos al salir? Cunado volvemos a entrar y observamos en efecto siguen tal cual, pero si no observamos, existe la minúscula probabilidad (minúscula queda en exceso demasiado grande) de que algo cambie de posición dentro del mismo cuarto o que salga de el. Esto se debe a la masa considerable de los objetos que podemos observar.

Sin embargo con partículas de masa muy pequeña o masa cero como el fotón (luz) las probabilidades son mucho mayores. Y de hecho ocurre y lo podemos observar:

Pero si observamos por que sale el patrón de interferencias y no solo dos líneas, por que estamos observando luz que es lo que ven nuestros ojos, pero si en las ranuras colocamos un medidor electrónico de la cantidad de luz que pasa, probablemente veremos que pasa igual cantidad de luz y que se debiera formar solo dos líneas.

Para complicarnos más debemos formular las leyes de la termodinámica: Todo tiende a equilibrarse térmicamente (temperatura es el movimiento de los átomos y moléculas debido a las fuerzas vistas anteriormente y todo tiende a equilibrarse a un ritmo)  y el calor fluye de los cuerpos más calientes a los fríos y no se puede volver a calentar un cuerpo sin dar más energía al sistema, pero como a todo el universo no hay como darle más energía, las fenómenos en los que hubo flujo de calor(que también es energía) que ya sucedieron no son reversibles en   su totalidad. (Ejemplo: Más claro el fuego calienta y quema  a todo lo que es más frío que el hasta que ya no tiene combustible de donde alimentarse, y a lo quemado le es imposible de recuperar su forma original.)

Aún mas complicación, como vimos todo en la física se relaciona al movimiento y a las fuerzas y estos tienen dirección y magnitud (cantidad), en la matemática lo más parecido son los vectores y por eso se modela matemáticamente gran parte de la física con ellos.