Modelos Matemáticos III: Vectores y Matrices

Día a día esperamos tener en orden las cosas. La naturaleza así mismo tiene un orden, y los podemos representar matemáticamente, tanto los procesos humanos como los naturales, mediante lo que se llaman arreglos o arrays (en inglés). Una propiedad importante de los arreglos es que poseen dimensiones, al igual que se entiende el mundo como lo vemos con nuestros ojos, de tres dimensiones. 

Además pueden ser de dimensión cero, es decir un número normal, llamado también escalar, se puede representar como un punto gráficamente.

De una dimensión, varios números formando una fila o una columna, llamado vector, se representa con una línea y además se le puede dar sentido y dirección. Ejemplo: $ \left[ 2\quad 3 \right] $ es un vector de dos dimensiones. Ojo con eso el vector es una array de una dimensión, pero a su vez puede contener otra cantidad de dimensiones, un vector de una dimensión también es un escalar.

De dos dimensiones, un conjunto de números ordenados en filas y columnas, llamado matriz, se representa como un plano. Ejemplo: $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, la disposición acostumbrada en un teclado numérico  de tres filas y tres columnas. Al igual que los vectores, la matriz es un array de dos dimensiones, sin embargo puede contener una cantidad cualquiera de filas y columnas.

De tres dimensiones, un conjunto de matrices,se representa como un espacio tal como ven nuestros ojos. Así mismo pueden ser arreglos de más dimensiones, por ejemplo la realidad según la relatividad general es de 4 dimensiones, y la teoría de cuerdas propone una realidad de 11 dimensiones.

Estos últimos ejemplos demuestran la importancia de los arreglos, pues logran describir la base sobre la cual se sostienen los demás modelos matemáticos. La mayoría de cursos formales de física inician con una introducción de calculo vectorial, pues resulta sumamente útil el concepto de vector para explicar matemáticamente un fenómeno. En el artículo anterior se habló de la velocidad en un vector de una sola dimensión, un escalar, sin embargo para describir mejor el fenómeno se debería usar $ \frac { d\overrightarrow { posición }  }{ dt } =\frac { d\overrightarrow { x }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { y }  }{ dt } +\frac { d\overrightarrow { z }  }{ dt } $, que indica el movimiento en las tres dimensiones del espacio, tal como perciben nuestros ojos.

Otra cualidad de gran importancia de los arreglos es su uso en computo de información, pues el hecho de tener datos ordenados, proporciona una gran ventaja para la elaboración de algoritmos. Es por esto que a un nivel básico se puede entender la memoria de un computador como un arreglo, no de números simples, sino de bytes; que a la vez es un arreglo de 8 bits, unidades básicas de información,que pueden ser verdadero o falso.

Otro uso en la informática es el despliegue de datos visualmente. Las pantallas modernas, díganse planas, son una matriz, y cada elemento es un píxel, cada píxel a su vez tiene tres partes, una de color rojo, una verde y una azul. Colocando los valores adecuados de intensidad para cada color del píxel se pueden conseguir los mas variados colores. Colocando en cierto orden los píxeles de un color dado se forman figuras, letras, imágenes, etc.

Una cámara fotográfica digital así mismo tiene sensores cuyas celdas se encuentran colocadas en forma matricial, según la intensidad de la luz que llega a cada celda se puede formar la imagen.

Matriz correspondiente a una celda de un sensor ccd usado en la cámaras digitales.

La asignatura de la Matemática que estudia los arreglos se llama Álgebra Lineal, sin embargo aplicaciones no lineales han permitido el desarrollo de una nueva rama llamada Cálculo Tensorial.

Al hablar de digital, hablamos de cantidades discretas, a pasos determinados, ya sea el bit que solo puede ser 1 ó 0, o ya sea refiriéndonos al tiempo, ya que el mundo no es digital y para transformarlo como tal se necesita tiempo. Al hablar en "digital":  una línea continua como de la geometría clásica,de puntos infinitos,  pasa a ser un vector con una cantidad finita de elementos. 

La transformación de la línea al vector se pude realizar mediante muestreo, es decir tomando solo ciertos puntos de dicha linea. La forma más sencilla es hacerlo cada cierto tiempo determinado, por ejemplo cada 0,01 segundos, es por eso que se dice que el tiempo también se vuelve discreto.

Discretización de una señal.

La línea verde que son mediciones reales, se convierten en un vector que toma como elementos cada uno de los datos, tomados en los tiempos determinados por la líneas naranjas.

 El vector Dato permite trabajar con dichos valores en una computadora o cualquier sistema digital, realizando cualquier operación. Para poder utilizar la línea verde del gráfico anterior, en un equipo electrónico, se necesita un equipo diseñado particular y específicamente para la operación requerida.

En fin, sin el concepto matemático de arreglo nos es imposible dale un orden al mundo físico, ya sea en la forma que perciben nuestros sentidos o en la forma que hemos desarrollado de procesarlo y sacarle mayor provecho mediante digitalización.

Son sin duda, dado su capacidad de organizar, los arreglos lo que nos permite entrar a la era conocida como de la Información. Pues ninguna información es útil si no puede localizarse y relacionarse con otras de temática semejante. 
Como dato final y curioso, lo que acabas de leer esta almacenado en vectores de bytes, que con un estándar conocido como ASCII  relaciona cada byte con un carácter de texto. Lees gracias también a los píxeles de tu pantalla, que llegan hasta tus ojos gracias a la luz, que sera uno de los temas a tratar en el próximo artículo. Porque todos estamos contentos con los vectores físicos para explicar fenómenos pero nos falta conocer (modelar), que produce y que actúa en tales fenómenos. Además, porque el siguiente artículo casi solo trata de física, aprovecharemos para crear un enlace a otra asignatura matemática que se emplea para modelar todo. Quizá no me crees, pero con eso puedo apostar.