Modelos Matemáticos II: Derivadas

Ahora que ya hemos visto aquí problemas cuyo modelo matemático se expresan con ecuaciones algebraicas, es hora de ver problemas que tienen más dinamismo, más acción por decir de alguna forma.

Considerando la caída libre de los cuerpos, o la caída de objetos al piso (o como se le quiera llamar).
Se puede observar que al lanzar un objeto para arriba, este cae luego de alcanzar cierta altura. ¿Podemos decir a qué altura llega?, ¿Qué tiempo demora en caer? o ¿Hará un hueco en el piso al caer?
De hecho si podemos, para lo cual nos basta saber que EC. 1 $v=\frac { dx }{ dt }$ lo que quiere decir que la velocidad es igual a la variación de la distancia en el transcurso del tiempo.
Entonces tenemos que buscar como varía la distancia con respecto al tiempo, para lo cual lanzamos un objeto y vemos lo siguiente (bueno no un objeto en este caso)

Si gráficamos la relación entre distancia y tiempo tendremos algo bastante parecido a:

Cuya expresión matemática más próxima es de la forma EC. 2 $ y=-a{t}^{2}+bt+c$ donde c es la altura máxima, b es una cantidad que depende de las condiciones climáticas y la forma del objeto pues se refiere a la fricción del aire, y finalmente a es una constante que vamos a ver que significado tiene más adelante, pero antes se necesita saber lo siguiente: (Pensando en las personas que no conocen cálculo)

Estos sencillos conceptos como ver si una línea va de subida o de bajada, son  la misma comprensión con la cual Newton empezó a colocar en números a la naturaleza. Claro que existen muchos más conceptos necesarios para entender con teoría matemática una derivada, pero en esencia se entiende mejor con los dibujos anteriores.
Entonces podemos definir sencillamente una derivada como la dirección de cambio de un fenómeno, si es cero quiere  decir que no hay cambios o se llego a un punto de inflexión. Si es un numero positivo quiere decir que aumenta con respecto a lo que estemos derivando. por último si es un número negativo pues lo contrario, que disminuye respecto con lo que estemos derivando.
Visto de otra forma simplista es la división de una cantidad muy pequeña para otra cantidad muy pequeña, y de distintas unidades.

La mayoría de fenómenos son dinámicos, ya sea en la naturaleza, economía, sociedad ,etc. por eso sus modelos matemáticos incluyen derivadas, que es la herramienta matemática para denotar variaciones.
En cuanto a los puntos de inflexión, su importancia reside en que son los mínimos o máximos que se pueden alcanzar, lo cuál por lo general responden a nuestras preguntas más inmediatas al observar algo, tales como ¿Qué tan alto puede llegar?, ¿Cúanto puede llegar a costar?, ¿Qué tanto puede llegar a crecer?, ¿Cuánto demorará en llegar?, etc.

Volviendo a lo anterior, en el primer gráfico se nota claramente que la pendiente es negativa, pero el sentido común nos dice que algo que empieza a caer desde el reposo, con velocidad cero, aumenta su velocidad y no la disminuye, se hace más negativa, como no indica una pendiente negativa. Debemos tener cuidado de como expresamos el fenómeno, o mejor dicho de la perspectiva desde la cual lo observamos. En la vida cotidiana y por eso mismo transportado a la matemática, se denota lo positivo como lo de arriba o que esta a la derecha, y como negativo lo que esta abajo o a la izquierda. Por aquello un movimiento que va hacia abajo tiene signo negativo, lo cual de manera retrospectiva indica que el signo negativo se debe a un movimiento hacia abajo, simplemente una convención para poder distinguir el sentido de movimiento.

En ocasiones menos es más.

Estas convenciones de signos son comunes en los modelos matemáticos, siendo algunos tan antiguos y usados a pesar de ser "erróneos", como el sentido de la corriente eléctrica que indica el movimiento de cargas positivas, pero sabemos que las que se mueven son las cargas negativas, pero incluso podríamos cambiar la consideración de cargas negativas por positivas y viceversa sin alterar por ello el funcionamiento de la naturaleza.

Ahora aplicaremos la operación matemática de derivar  a la EC. 2, (si no conoces cálculo puedes revisar reglas de derivación o tablas) obteniendo:  EC. 3 $ \frac { dy }{ dt } =-2at+b$. Esta sería la expresión matemática de la velocidad de un cuerpo en caída libre, si para no complicarnos consideramos que no hay fricción es decir $b=0$, obtenemos que la velocidad es $V=-2at$, lo cual no indica que a pesar que el dibujo del movimiento es una curva, el dibujo de la velocidad es una línea. En este caso la derivada es de la posición "y" con respecto al tiempo "t", y la expresión de la cual se presenta la gráfica a continuación indica que la velocidad incrementa proporcional al tiempo que transcurre, es decir a mayor tiempo, la velocidad es mayor (aunque más negativa según la convención)  

La pregunta es que sucede si volvemos a derivar, obteniendo la variación de la velocidad respecto al tiempo:

EC. 4$\frac { dV }{ dt } =\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } = -2a $, a este concepto se le llama aceleración, en el caso del fenómeno de caída libre, está depende solamente de a, si a es constante, como hemos supuesto en las derivadas (ponerse a derivar tomando en cuenta a, b y c como "no constantes", variables que también dependen de "t", se puede realizar a mano. Considerando como variables que dependen de "y" y "t", es una de la razones por la cual fue necesario desarrollar los computadores),primero si no conocemos su valor, da lo mismo poner a que 2a (Este tipo de cambio de variables o simplificar las expresiones, también es común en el desarrollo de modelo matemáticos). Segundo llegamos a vislumbrar que la caída del cuerpo, y que no quede flotando, se debe a que existe algo que produce aquella cantidad "a", a ese algo le llamamos gravedad y "a" es la aceleración que produce sobre un cuerpo, con las consideraciones que hemos tomado se nota que no depende de la posición ni del material del objeto, es la misma para una pluma como para una moneda, el porque la puma demora más cayendo se debe a su forma, la cual no consideramos desde el momento en que hicimos $b=0$. Por cierto $ a = 9,8 \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $ en el planeta Tierra en promedio, pero en realidad varía con la altura, así que es ligeramente distinta en la playa que en una montaña, y casi nula la variación desde una mesa al piso.

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Manipulando tan simple definición $ v=\frac { dx }{ dt }$, conociendo que es una derivada, y observando el comportamiento de los objetos de este universo se han logrado muchas cosas útiles, incluso las teorías de Einstein parten de este concepto y lo llevo mucho más allá de las convenciones establecidas en su tiempo, gracias también a las Ecuaciones de Maxwell, que son un conjunto de cuatro ecuaciones, cuyas soluciones deben satisfacer las condiciones de las cuatro a la vez. sobre este tipo de modelamiento matemático se hablará en la siguiente entrega.