Teoría de Juegos

Feliz Año 2013!

Esperamos que se cumplan sus mejores deseos y tomen buenas decisiones.

Pero además de tan sólo esperar, el tema de hoy les ayudará a tomar las decisiones para cumplir sus metas.

La teoría de juegos formalizada por Jhon Von Neuman(Un matemático genial) y Oskar Morgenstern(Un economista) ha sido esencial en que la guerra fría terminase fría, la teoría de la evolución, sociología, en el desarrollo de algoritmos de Inteligencia Artificial y sobretodo economía. 

La teoría de juegos toma bastante de la teoría de decisiones, que es limitada ya que supone la decisión de un solo individuo sobre hechos conocidos, y la lleva a situaciones más reales donde participan más individuos y la decisiones de cada uno se basan sobre las ya tomadas por los otros "jugadores".

Para ejemplificar, tomemos uno de los juegos de mesa más populares: Monopolio. Qué además está ligado a la economía.

El objetivo del juego es dejar en bancarrota a los demás jugadores, logrando un dominio en solitario del tablero.

Tomada de de http://mundodelaempresa.blogspot.com/

Al empezar el juego todos los jugadores empiezan en la misma casilla y con el mismo dinero. El juego se desarrolla por turnos, algo que se agradece para aplicar la teoría de juegos ya que si no se conoce que decidieron hacen el resto de jugadores es más difícil decidir la siguiente "jugada". 

Luego al tirar los dados se indica el número de casillas a avanzar, en las casillas existen: lugares en venta, lugares vendidos donde hay que pagar alquiler (pérdida) y casillas donde se selecciona una tarjeta que pueden ser de pérdida o ganancia.
Asumiendo tres jugadores, cuatro lugares y que cada jugador tiene un lugar comprado se puede esquematizar con un cuadro más o menos así las pérdidas y ganancias:

La perdida de un jugador obviamente va como ganancia +20 (pago de alquiler) al jugador poseedor de la casilla.

Las cinco casillas del cuadro más la de inicio dan en total seis casillas, y si consideramos que solo se lanza un dado tenemos de forma muy simplista que existe la probabilidad de 1 en 6 de caer en una casilla en cada lanzamiento del dado, o mejor dicho en cada turno hay la misma de probabilidad de avanzar a cualquier casilla. 

La que nos interesa es la nombrada como Lugar 4 que tiene un valor desconocido "x", ya que 0+x siempre es x pero era necesario para indicar que el valor inicial es 0, este valor cambia en función de la decisión tomada: Comprar o No Comprar. 

Pudiendo obtener los siguientes cuadros de posibilidades:

Supongamos que ningún jugador compra, entonces no se produce desbalance en el tablero y aparentemente ganará el que tenga mejor fortuna con las tarjetas y la pregunta es: ¿el jugador que compra tendrá mayor oportunidad de ganar?

Como se ve en las tablas anteriores para el primer turno, al comprador le representa un gasto de -200, y en los siguientes turnos los -20 de los otros jugadores representan +20 al comprador, por una simple división se ve que tienen que caer los otros jugadores al menos 10 veces en la casilla Lugar 4. 

Ahora, tomando en cuenta que son dos jugadores y que la probabilidad de llegar a esa casilla era de 1/6 para cada uno, lo que da 1/3 de probabilidad total en cada turno, si hacemos que la probabilidad sea cumplida obtenemos que cada tres turnos al menos en uno cae un jugador en la casilla Lugar 4. Por lo que se necesitan al menos treinta turnos para que el jugador comprador recupere lo gastado, treinta turnos en los que también puede caer en otras dos casillas en las que debe pagar 20 (-20), con 1/3 de probabilidad de caer en ellas; que da lo mismo que en esos treinta turnos no obtiene ningún beneficio de su compra y el resultado del juego sigue dependiendo de la fortuna en las tarjetas, que al menos ya debieran ser 5 por jugador. Claro los otros jugadores tienen la probabilidad de 1/2 de caer en una casilla en la que deben pagar, es decir en 20 turnos gastarán los -200, los diez turnos de diferencia representan una diferencia de entre 60 y 80 entre el jugador que compro y los que no compraron. Existe diferencia entre el que compro y los que no compraron ciertamente, pero esos 60 u 80 no necesariamente van al comprador, pueden ser intercambios entre los otros dos. No se asegura ventaja al comprar Lugar 4.

Después del turno treinta lastimosamente para el comprador la historia se repite, puesto que se ha vuelto a las condiciones iniciales, y la conclusión es que, si el juego dura menos de 30 turnos, el que compre el Lugar 4 pierde más. Se concluye entonces en general que en juegos de azar y con condiciones iniciales iguales y pérdidas y ganancias iguales (suma cero), el ganador depende de las circunstancias del juego (tarjetas) más que de la habilidad de cada jugador; y si alguien quiere sacar ventaja en realidad no lo consigue. 

Otra conclusión: para ganar al Monopolio no hay que llegar a condiciones igualitarias, hay que comprar todo lo que se pueda al principio y hacer mejoras para que las ganancias sean mayores a las pérdidas. (Descubriendo el agua tibia). 

Además se muestra que mientras la competencia o juego continué no hay ganadores ni perdedores (otra vez descubriendo agua tibia). Pero no se aplica solo en economía sino en muchos más aspectos sociales, después de todo la economía también es una ciencia social. 

Las conclusiones pueden concretarse en la realidad planteando que: en una economía de igualdad de oportunidades, no gana nadie a pesar de poseer más, pero si pierde el que quiere mucho más en poco tiempo. Es algo así como que habiendo tres mini-mercados en un barrio, uno por ganar más y eliminar competencia compra a los otros dos sin tener el presupuesto adecuado para abastecerse después de todos los productos que la gente del barrio necesita. Podrá tener una gran tienda, pero sin productos no sirve de mucho.  

Si comprara solamente una, la competencia (el juego) sigue, y si hace mejoras lograra ganar la mayoría de clientela sin necesidad de comprar la otra tienda, esta termina cerrando por sí sola.

Este ejemplo es muy simplificado, a pesar de lo laaaaaaaaaaaaargo que se ve.

Día 2

Lo bueno es que se obtuvieron algunas conclusiones y muestra características de los distintos tipos de juegos:

Juegos Simétricos: Las recompensas de la estrategia seguida por el jugador dependen de las estrategias de los otros jugadores y no de la estrategia seguida. (Es decir se consigue más con la cooperación entre jugadores)

Juegos Asimétricos: Las estrategias a seguir son distintas para cada jugador (función en el juego: es como uno es el gato y otro es el ratón).

Juegos de Suma Cero: Lo que alguien gana necesariamente es pérdida de otro jugador (Póker).

Juegos de Suma No Cero: Las ganancias no provienen de las pérdidas de otro jugador, o puede haber ganancia de ambos (Contratos).

Juegos Cooperativos: Se negocian las ganancias y pérdidas de los jugadores. (Apuestas)

Juegos Simultáneos: Los jugadores realizan su movimientos al mismo tiempo (Videojuegos de Acción)

Juegos Secuenciales: Se realizan por por turnos (Juegos de Mesa), si los otros jugadores conocen todas las acciones realizadas durante el turno de algún jugador es un juego de Información Perfecta (Ajedrez).

Juegos de Longitud Infinita (SuperJuegos): Los juegos en la vida real duran solo un periodo de tiempo, pero para tratar a algunos teóricamente y matemáticamente se requiere ponerlos en términos matemáticos que no tienen limite de tiempo.

Al principio se nombró algunas campos en donde se aplica la teoría de juegos, ahora se ampliará sobre como es usada la teoría en cada campo:

Militar: El juego de la guerra es un juego que parece gustar a los humanos (estamos locos), y si tenemos un teoría de juegos por que no aplicarla a este "jueguito". Del ejemplo de este artículo se desprende que si todos los jugadores empiezan en igualdad de condiciones, no hay ganador a menos que influyan factores externos. Claro que el ejemplo era para juegos de azar, pero ¿cuál es la certidumbre de ganar la guerra?. También el ejemplo era para juegos secuenciales, en la guerra todo es acción inmediata, pero igual hay alguien que da el primer paso y el resto responde a ese paso inicial. ¿Será cierto qué el que pega primero pega dos veces?. También se mostró que si el juego acaba demasiado pronto pierde el que arriesga, es decir si pega primero más le vale pegar suavito porque si pega duro, eliminará en seguida al oponente, y todo su armamento será desde ese instante inútil. Y vamos que no es secreto que las guerras se dan para conseguir beneficios económicos y que la industria de armamento es una de las mayores lavadoras de dinero. Solución: Para que la industria siga existiendo y la guerra no mate(mucho), la escalada armamentística es lo mejor, comprar armas hasta tener lo mismo que los oponentes y si se tienen más, esperar a que los oponentes compren más. Y así el dinero que debe existir por producción se gasta en especulación de la destrucción. 

Biología: ¿Vivir o Morir? parece la pregunta con la respuesta más obvia, sin embargo a nivel de especies se puede tomar una estrategia para seguir el juego de preservarse, aparentemente en la naturaleza ninguna especie toma estrategias equivocadas, es más como la respuesta de vivir es obvia se observa que las especies no solo siguen viviendo sino que mejoran la estrategia. ¿Continuarás contaminando el planeta o cambias de estrategia?  ¿Cuándo hay seres que pueden pensar en el futuro de su especie, que tan válido es el concepto de selección natural como generadora de la estrategia de sobre-vivencia?. Y así la evolución es real, pero no somos dominados totalmente por ella, nosotros ya decidimos nuestra estrategia a seguir.

Sociología: Existen juegos muy famosos, por citar dos: juego del dictador y el dilema del prisionero, son juegos con reglas muy sencillas y de un solo turno por jugador. Se han realizado experimentos empleando estos juegos(sin decirles que eran juegos) y se han llegado a conclusiones realmente sorprendentes de la sociedad humana. Por decir algunas: Más que el dinero y el poder nos mueve nuestro egoísmo y orgullo; si puedes ganar engañando, sabiendo que perjudicas a otros, engañas; parece que somos muy malos no!. Pero también se llegaron a conclusiones como el criterio de justicia prima sobre el de beneficio propio, si para ganar hay que cooperar casi de seguro nos ayudamos. Y así se ha conseguido mucha información del  muy indescifrable comportamiento se la sociedad con experimentos muy sencillos. La teoría de juegos no predice como nos comportamos, sino propone ejercicios para conocer el comportamiento.

Tomada de http://teoria-de-juegos1.blogspot.com/

Inteligencia Artificial: Como se explicó en el artículo anterior, la inteligencia de una máquina es en virtud de la decisiones que puede tomar, las cuales pueden variar por los parámetros dados, pero que tal si escogemos cual decisión tomar en función de la utilidad de los parámetros involucrados en dicha decisión. Por ejemplo en ajedrez dar mayor prioridad (recompensa) al rey que al peón y decidir cual ficha mover para proteger al rey, así muera el peón. 

Para eso debemos realizar un esquema en forma de árbol de las posibles decisiones, podar las ramas menos útiles y seguir el camino más recto para llegar a la rama con mejor fruto.

Un buen artículo y juego de ajedrez en la siguiente página.

Economía: Jhon Nash (En quien se inspira la película Una Mente Brillante), encontró una solución optima para los juegos la cual se llama equilibrio de Nash: Si la elección de un jugador A  es óptima debido a lo que escoge B y la elección de B es óptima dada la elección de A. Es decir existe un equilibrio cuando ningún jugador quiere cambiar su elección después de conocer la elección del otro, y la ganancia es aceptable para ambos. Un equilibrio en las actividades económicas es importante porque se conoce que la otra parte no cambiara de estrategia o elección si uno mismo no cambia de elección o estrategia. 

Nota: El presidente del Ecuador ha dicho que para reducir la deuda externa ecuatoriana se utilizó teoría de juegos.

En fin, seguimos "jugando" toda nuestra vida a pesar de creernos ya grandecitos para juegos. 

Por último invito a que realicen un cuadro de las ganancias y pérdidas que aportan la elección de algún candidato en las próximas elecciones presidenciales de febrero y lo analicen y obtengan conclusiones para ir a dar su voto ese domingo.

Si quieren más información del tema (O si no entendieron nada aquí) visiten:

http://eltamiz.com/elcedazo/2010/08/23/teoria-de-juegos-i-introduccion/

shttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos

O más resumido: 

http://pepoladas.over-blog.es/article-la-teoria-de-juegos-82869845.html