Modelos Matemáticos I: El principio

Los modelos matemáticos no son personas dedicadas a la matemática vistiendo ropa de moda, no.

Son ecuaciones que describen un fenómeno (hecho real), tan detallado o simplificado como se quiera o necesite.

Para lo cual se puede usar cualquier tipo de ecuación (así mismo sencilla o complicada), dependiendo claro del hecho que se quiere representar.

Los ejemplo más fáciles son el planteamiento de un problema de álgebra.

Uno de los problemas mas comunes de la vida diaria, es el dar el vuelto (cambio) tras una compra.

Vuelto = Dinero Entregado - Precio, donde lo que se quiere encontrar es el vuelto a entregar, teniendo conocimiento de los otros dos datos. Bastante intuitivo pero puede hacerse un análisis de dicha ecuación.

El vuelto es menos, sí el precio sube o se paga con menos dinero.

El vuelto es más, sí el precio baja o se paga con mucho más dinero.

El vuelto ideal es cero, porque significa que se ha entregado la cantidad exacta del precio en dinero, lo que quiere decir que no se necesitan más monedas ni más billetes para que la compra se haga efectiva.

Considerando que se compra una libra de arroz, a 55 centavos o lo que es lo mismo 0,55 dólares.

Cantidad que se puede lograr de muchas maneras:

55 monedas de 1 centavo.

11 monedas de 5 centavos.

5 monedas de 10 centavos y 1 de 5 centavos.

2 monedas de 25 centavos y 1 de 5 centavos.

1 moneda de 50 centavos y 1 de 5 centavos.

Lo cierto es que como máximo puede usar 55 monedas y como mínimo entregar 2 monedas.

Pero para realizar la compra se entrega una moneda o billete de 1 dólar, usando la fórmula anterior:

 Vuelto=1-0,55=0,45 dólares o que es lo mismo 45 centavos. 

El vendedor puede entregárselos al comprador de distintas maneras:

45 monedas de 1 centavo.

9 monedas de 5 centavos

4 monedas de 10 centavos y 1 de 5 centavos.

1 moneda de 25 centavos y 2 monedas de 10 centavos.

Y muchísimas combinaciones más, lo cierto es que como máximo ocuparía 45 monedas y como mínimo ocuparía 3 monedas. Al final de la compra, entregado la libra de arroz y el vuelto correcto, tanto comprador como vendedor quedan contentos. 

El que no queda contento es la entidad encargada de emitir dinero. Para realizar la compra como máximo se necesitan 55 monedas, mínimo 2; en el ejemplo se realizó con un máximo de 46 monedas y un mínimo de 4 monedas, pero el problema no es tanto la cantidad de monedas y lo que cuesta elaborar cada una, si no el flujo de dinero, se usaron 1,45 dólares para transferir un bien de 0,55 dólares, desde otro punto de vista se usaron 0,90 dólares más que debieron salir de alguna otra actividad productiva.

Esto nos dice que para poder pagar con cualquier moneda o billete de cualquier valor y recibir vuelto necesitamos de otras actividades (trabajos) tanto por parte del vendedor como del comprador, pues ambos tienen inicialmente y en partes iguales (0,90/2=0,45) más dinero aparte del arroz y el dinero que es necesario para comprarlo.

Esto comprueba en parte que el vuelto ideal es cero, pero la importancia de que el vuelto sea cero se puede encontrar en sistemas de control donde dada una entrada (Dinero Entregado) y un valor de referencia (Precio), la diferencia (resta) entre estas debe ser cero (nula) para decir que se ha hecho un control efectivo. 

Ejemplo: Se quiere mantener la velocidad de un carro en 60 Km/h, el tacómetro nos indica la velocidad, si es menor se presiona el acelerador, si es mayor se aplasta el freno; así continuamente para que la velocidad sea la más próxima posible a los 60Km/h.   

Ahora un ejemplo de dos variables y con datos desconocidos al principio pero que pueden aproximarse o condicionarlos según el interés:

Pepe es capaz de sembrar 1000 m2 de terreno en un día, Juan es capaz de plantar en 800 m2 en un día. Si se necesita sembrar 12600 m2 de terreno y el sueldo de Juan es $30 el día y el sueldo de Pepe es $40 el día. ¿Cuántos días debe trabajar cada uno? y ¿Cuánto hay que pagar en total?, tomando en cuenta que trabajan simultáneamente y que reciben el mismo sueldo tanto si trabajan medio día o un día entero (no viven  cerca o alguna otra circunstancia).

Primero hay que recoger los datos del problema y seleccionar las variables (cantidades) que nos sirven de respuestas.

Sean:

SP=40 ;sueldo de Pepe

SJ=30 ;sueldo de Juan

Tt =1260 ;terreno que debe sembrarse

TP=100 ;terreno por día de Juan
TJ=80 ;terreno por día de Pepe
DP=? ; días trabajados por Pepe
DJ=? ;días trabajados por Juan
PP=? ;pago a Pepe
PJ=? ;pago a Juan
PT=PP+PJ ;pago total

Luego hay que dar relación lógica entre los datos y las variables, es donde entran las ecuaciones.

Ya tenemos una PT=PP+PJ

¿Ahora cuánto hay que pagar a Pepe y cuanto a Juan? Pues según los días que trabajaron y su sueldo diario

Tomando a Pepe, si gana $40 en un día, en dos días debería ganar el doble $80 y así sucesivamente, lo que se puede expresar como:

PP=SP x DP = 40 x DP

PJ=SJ x DJ =  30 x DJ

reemplazando en la primera.

PT= 40 x DP + 30 x DJ

Lo que nos falta saber es cuanto es DP y cuanto es DJ, si trabajan hasta completar los 1260 m2 tenemos:

1260 = TP x DP + TJ x DJ = 1000 x DP + 800 x DJ.

Esta última puede representarse mediante un gráfico

Y se pueden tabular los datos:

De la tabla de datos se puede observar que:

1) Solo existen tres combinaciones de días enteros entre DP y DJ, estas son 3 y 12; 7 y 7;  11 y 2.

Lo cual es importante pues se pagan sueldos por día, en los casos con decimales habría que aproximar u obtener el sueldo proporcional a la porción de día trabajado.

2) A partir de 13 días de DP, los días DJ son negativos, lo que quiere decir que con 13 días trabajando Pepe ya no se necesitaría contratar a Juan. O lo mismo que mientras más días trabaje Pepe menos días trabajara Juan y viceversa.

3) Que con los datos dados existe el resultado 7,7 que implica que con 7 días de trabajo se cumple el objetivo. si no trabajaran simultáneamente, la mejor combinación sería 11,2, ya que sumarían 13 días en total, menos que los 14 que suman 7+7 y los 15 que suman 3+12.

Ahora es fácil, observando la tabla y el gráfico llegar a esas conclusiones, pero es más fácil si se incluyen en el gráfico las restricciones que necesitamos, estas son:

1) Que la respuesta sean enteros. Líneas horizontales y verticales en los números enteros.

2) Que los días no sean negativos y que ambos trabajen. DP>0 DJ>0

3) Que la respuesta sea el menor numero de días de trabajo simultáneo. DP<

Al incluir todo eso se obtiene un gráfico como el siguiente:

Haciendo un acercamiento se observa:

Se ve que las condiciones se encuentran o cortan en un punto, lo cual quiere decir que ese punto es solución.

Ahora que estamos seguros de que lo mejor es 7 DP y 7 DJ, podemos calcular PT

PT= 40 x 7+ 30 x 7 = $490

Teniendo el resultado que buscábamos y que responde a nuestras interrogantes iniciales.

Pero haciendo un análisis de los datos descartados se obtiene que:

Con DP=3 y DJ=12

PT=40 x 3+ 30 x 12= $480

Con DP=11 y DJ=2

PT= 40 x 11 + 30 x 2 = $500

Se observa que con la opción DP=3 y DJ=12 el valor a pagar es menor pero se necesitan 12 días para terminar el trabajo, la primera opción DP=7 y DJ=7 nos hace pagar $10 más pero el trabajo se termina 5 días antes. La última opción no ofrece ninguna mejoría en respecto a las otras dos.

Escoger entre la primera o segunda opción dependen del dinero disponible o del tiempo requerido, condiciones que pueden haberse planteado al inicio del problema, dando como resultado una única respuesta posible.

Concluimos que para obtener una sola respuesta que se adapte mejor a nuestro interés es necesario iniciar con todas las condiciones requeridas, si no se expresan el problema tiene múltiples soluciones.

Esto es útil para la segunda parte de este artículo, donde se analizaran modelos matemáticos con derivadas e integrales, donde dadas las condiciones iniciales la respuesta es una sola.

Carrera Aeroespacial

Aprovecho este espacio para expresar, en un artículo largo y dedicado a la ciencia y al emprendimiento, una opinión personal. 

Felipe Torres

La carrera aeroespacial inicia hace mucho tiempo. El ser humano no se contenta con caminar, trotar y correr que son por naturaleza sus modos de movilización. Hemos aprendido a movernos en el agua, sobre tierra, bajo tierra y en el aire, pero sabíamos que las estrellas estaban más allá del límite que jamás alcanza una nube, que el cielo diurno mostrándonos las cosas en la Tierra nos ocultaba todo lo que está fuera de ella, teniendo que esperar a la noche para descubrir nuevos horizontes.

El viaje de Gagarin, la llegada del hombre a la luna, la construcción de la Estación Espacial Internacional y muchas otras estaciones, los sistemas de geo-posicionamiento (lease GPS, Galileo, Beidou), la primera foto tomada a la Tierra, el envío de satélites de comunicación y monitorización, Google Earth, el envió de las sondas Pioneer, el telescopio Hubble, la llegada de Opportunity, Spirit y Curiosity a Marte, y muchas travesías más al espacio han unido a la humanidad, nos han dado una visión de pertenecer al mismo planeta diferente a la que se tenia antes en donde pertenecer al mismo planeta significaba conquistarlo para un solo imperio, dominarle y esclavizar a los que no piensan igual, a los que no visten igual, en definitiva para exterminar al diferente.

La nueva visión es la de que quizás somos la única especie con raciocinio en algunos años luz a la redonda, la de protectores de un ecosistema planetario e incluso del sistema solar, la de insignificantes en comparación al tamaño del universo y a la vez de estar sobre "hombros de gigantes" al poder comprender en gran medida su  funcionamiento. En realidad no es tan nueva ni inicia con la carrera espacial pero se volvió más intuitiva, más rápida de comprender.

Primera foto de la Tierra

Claro para llegar más lejos se necesita vencer a la gravedad, se necesita una velocidad mínima de salida de 40320 Km/h es decir 1000 veces más veloz que un auto en una vía urbana y 43 veces más rápido que un avión comercial y 32 veces la velocidad del sonido. 

Alcanzar tales velocidades de despegue solo se consiguen con cohetes que consumen combustible a una tasa realmente impresionante, consumen aproximadamente un millón de kilos de combustible en poco más de 10 minutos, esto visto desde otro lado quiere decir que la mayor parte del peso de un objeto que se lanza al espacio es el combustible necesario para lanzarlo, que a su vez es el necesario para lanzar el peso del propio combustible y de la nave. Si se encontrara un combustible ultra ligero, el combustible necesario seria incluso menor, el problema es que ya se usa lo más liviano, que es el hidrógeno, el desafío esta en obtener más energía con menos cantidad de hidrógeno.   

Transbordador Espacial

Y lo bueno de esto es que teóricamente hay como conseguirlo a través de fusión nuclear, lo malo es que en la práctica no es tan simple lograr esa fusión además de que se necesitan los isótopos deuterio y tritio  mucho menos comunes que el hidrógeno llamado hidrógeno-1 que es el que encontramos en el aire y el agua.

Tomada prestada de http://www.malaciencia.info

Nos encontramos además que la investigación y producción de cohetes y de energía nuclear generalmente fue usada primero en la guerra antes que sea modificada para el uso aeroespacial. Situaciones como está hacen que cualquier intento de experimentar con cohetes y energía nuclear sea penalizado por la ONU, una organización mundial que aboga por la democracia y paz, y que países pequeños no dispongan de programas espaciales, pues el dominio militar y energético son lo que hacen a un país dominante sobre el resto, como se demostró en la guerra fría, que termino entre Estados Unidos y la Unión Soviética, pero para el resto del mundo no ha hecho más que empezar si la visión antigua permanece, debido a que la era del conocimiento ha empezado, no se necesitara fuego para diezmar poblaciones, sumir ciudades en caos o alterar de manera peligrosa el ánimo de multitudes.

La nueva visión de ser más unidos no basta cuando personas, que vinieron al mundo antes de los hechos descritos en el segundo párrafo,  gastaron dinero en el desarrollo de armas y en su fabricación, dinero que pudo haberse usado para el bienestar mundial se uso para el bienestar de unos pocos. 

Afortunadamente hubo gente que también nació antes pero si tuvieron visión y usaron de lo que disponían para lograr objetivos, que traían bienestar pero también trajeron esperanza, pronto la investigación de cohetes transcontinentales se convirtieron en prototipos de cohetes espaciales, la investigación de bombas nucleares se convirtió en plantas de energía eléctrica y baterías de larga duración, los radares y tecnología de encriptación se transformaron en satélites de comunicación.

En definitiva no existiría carrera espacial si no hubiera sido por la carrera militar y armamentística, pero es preferible a que hubiera sucedido al revés, es decir que los instrumentos y herramientas usadas para llegar al espacio hubieran sido desarrolladas primero y luego una mente con la vieja y antigua visión de dominación al mundo las hubiese usado para la guerra, teniendo en cuenta que quien ha visto la foto de la Tierra tomada desde cualquier punto del espacio estaría lo demasiado loco como para destruirla sabiendo que el lugar más cercano donde podría habitar esta a siglos de travesia espacial.

Lamentablemente el comercio de armamento es una negocio multimillonario, el uso de esa tecnología en armamento es indispensable para vender más, y repito de nuevo el poder militar determina que tan poderoso  es una nación, cuanto mejor si cada uno de sus ciudadanos puede llevar un arma, y como en todo negocio una de las formas de que las ventas no caigan es ofrecer productos con cierto grado de innovación. El alcance y velocidad de un cohete seguramente son parámetros preciados para la promoción de venta de alguno, tanto si son dedicados para el ataque en una guerra o para el lanzamiento de una satélite artificial.

El soporte de cubrir necesidades básicas no llegan aún, en el año actual, 2013, a toda la población mundial, en parte por que la misma población crece desmedidamente sin tomar propia conciencia de su reproducción (parece que no somos lo suficientemente responsables ni individualmente ni como sociedad), en parte porque los presupuestos anuales se enfocan en obtener ganancia o no endeudarse demasiado al final del año, no se enfoca en suplir las necesidades así hubiera que dejar de ir trabajar en otras áreas para lograr completar las infraestructuras de saneamiento, agua potable, electricidad y comunicaciones (entiéndase caminos, correo, teléfono).

Hace 10 años el río de una de las ciudades más grandes del Ecuador 

Si la guerra mata cientos, importa pero se le toma con cierta naturalidad, no es acaso para eso la guerra, pero si en una misión espacial o investigación relacionada al espacio muere uno, las críticas caen en seguida, se supone que la ciencia salva vidas, no debería quitar ninguna. La verdad es que ambas no deben quitar vidas, la guerra fría fue un ejemplo de como habiendo guerra hubo también investigación cientifica, sin embargo la guerra es de enemigos, la ciencia es de amigos.

Espero que para todos este claro que la ciencia no es parte de la guerra, quien hace ciencia para guerras no hace ciencia, hace guerra.

Quién aún no logra ver el planeta Tierra como un hábitat de coexistencia pacífica nos está condenando a los demás a la extinción, evolución significa mejorar y alcanzar más habilidades, navegar en el agua, considerando que el planeta es 70% agua, no es una gran logro pero es de mucha importancia y necesidad, viajar por el espacio sin llegar a un cuerpo celeste tampoco es un gran logro considerando que casi todo el universo es espacio vacío, lo que significa que todavía tenemos bastantes objetivos a los cuales dirigirnos. Aquel concepto de evolución de supervivencia del más fuerte queda frustrado al ver que los animales compiten no por la propia supervivencia del individuo sino la preservación de la especie, los humanos casi pasamos a destruir la especie con el justificativo de demostrar fuerza. Algunos quedarán pensando pero al final si sobrevive la especie más fuerte, lo cual es cierto pero no tiene sentido que una especie carnívora elimine a todo aquel que tiene carne, pues luego tiene que cambiar de habito alimenticio o morir de hambre.
Vamos adelante en una carrera de conseguir logros que unan más a los hombres y conserven mejor a la naturaleza, que no haya motivos para la guerra.

El motivo de este artículo es la amenaza de guerra entre Corea del Norte y Estados Unidos, el negro recuerdo de la segunda guerra mundial retratada en películas, una conversación con mis padres y tíos, el hecho de que los militares estadounidenses tengan que declarar a herramientas informáticas como armas de guerra para que no les corten el presupuesto,  lo que implica que esta sucediendo justamente "eso", de pasar de algo beneficioso, la computadora y el Internet (que no dejaron de tener uso militar desde que fueron inventados, pero su uso es tan extendido que el uso militar paso a ser menor), a algo altamente peligroso. 

La visión no ha cambiado lamentablemente para algunos que se expresan en términos de odio hacia otros seres humanos, para ellos es como si las distintas revoluciones no significarán "nada", solo tal vez que el dominio debe ser más disimulado para que estas no ocurran. 

A ciertos mandos de empresas, y prefiero pensar que son de empresas y no de estados, no les llega el mensaje de ver un diminuto punto azul en la inmensidad del universo. Si fueran los mandos de los estados, realmente mejor nos fuera a cada individuo por su lado que un estado, que en cualquier lugar del mundo es lo principal de la sociedad después de la familia, que no vela por el bien de si mismo sino por el malestar de otros, sin entender que el bienestar mutuo es el único posible.

La iglesia, y de casi todas las religiones, con su influencia ha ayudado a que esto se mantenga controlado, ya que es el principal foco de ética y moral, sin estos los derechos humanos no son más que lindas palabras escritas. Lastimosamente cierto fanatismo de unos pocos grupos extra religiosos también amenazan la paz de la Tierra.

Tal vez parezca muy humanista lo que he escrito pero soy humano y si he cometido errores espero que no sean graves, esto es solo opinión, no de esas opiniones que por supuesta libertad ofenden a otros, es más espero no haber ofendido a nadie, sino llamar a reflexionar y espero comentarios y réplicas. Porque la verdad es una sola pero los intereses son muchos, y distorsionan la perspectiva desde la cual se mira. Espero la mía no este demasiado distorsionada y mis palabras no se alejen de la verdad, caso contrario sean ustedes los lectores los correctores de mis errores.